2014级第二学期72学时高等数学复习要点.doc

高等数学期末考试复习要点 定积分部分知识点及典型例题 1.若函数在闭区间连续，则在在闭区间上可积。 典型例题：下列函数中，在区间可积的函数是： 。 。 2.变上限定积分求导数：。 典型例题：（1） ；（2） ； （3） 。 3.定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式，其中主要用到不定积分主要公式、、、、，凑微分法等。 典型例题：计算下列定积分（1），（2），（3），（4）。 4.对称区间奇偶函数的定积分的性质：若是奇函数，则；若是偶函数，则；。 典型例题：（1） ；（2） ； （3） ；（4） ； 5.定积分的几何意义。 典型例题：利用几何意义直接求下列积分（1）；（2）。 6.，广义积分收敛、发散的充要条件。 典型例题： （1）指出反常积分何时收敛，何时发散? （2）判断下列积分的敛散性：，，。 7.定积分应用： 1）求平面曲线所围成图形的面积：由曲线，直线以及x轴围成的曲边梯形的面积为； 2）旋转几何体的体积：由曲线，直线以及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周形成的旋转几何体的体积为。 3）已知边际函数，则。 典型例题： （1）计算由曲线、及围成的平面图形的面积。 （2）计算由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。 （3）计算由曲线所围成的平面图形绕x轴旋转一周产生的旋转体的体积。 （4）生产某产品单位的边际收入为（元/单位）：a.求生产100单位时的总收入及平均收入;b.求再多生产10单位时所增加的总收入与平均收入。 多元函数部分知识点及典型例题 求已知多元函数的偏导数及全微分。 以二元函数为例，，，。注意：对哪个自变量求偏导数，则将其余自变量看成常数。全微分公式。 典型例题： （1）已知，求。 （2）已知，求。 复合函数求导及隐函数的导数。 复合函数导数的链式法则： 设，则，。 隐函数的导数： 由方程所确定的一元隐函数的导数。 由方程所确定的二元隐函数的偏导数。 典型例题： （1）已知，求。 （2）求由方程所确定的二元隐函数的偏导数。 半抽象函数的一阶偏导数。 若可偏导，且，则，。 典型例题： （1）已知一元函数可微，求。 （2）已知二元函数可微，，求。 求一个已知二元函数的极值。 步骤：1）令，求得驻点。 2）求二阶导数。 3）在每个驻点处求，若，则驻点是极值点。进一步，时，驻点为极小值点；时，驻点为极大值点。 典型例题： （1）求的极值。 （2）要造一个容量一定的长方体箱子，问怎样的尺寸，才能使所用的材料最省。 直角坐标系下的计算及交换二次积分的顺序。 1）二重积分的计算步骤： a．画图，用不等式表示积分区域D（注意X型与Y型区域的选择）。 b．将二重积分根据a转化为二次积分，然后逐次计算。 2）交换积分次序是指将X型区域上的二次积分转化主Y型区域上的二次积分，或者是将Y型区域上的二次积分转化主X型区域上的二次积分。 典型例题： （1）交换二次积分的积分次序。 （2）交换二次积分的积分次序。 （3）计算二重积分，。 （4）计算二重积分，其中是由直线及抛物线围成的区域。 微分方程部分知识点及典型例题 微分方程的基本概念：微分方程，阶，解（通解，特解），初始条件。 可分离变量微分方程求解： 分离变量。 两端积分。 化简整理 一阶线性微分方程的求解： 当时，称为齐次方程，此时方程为为可分离变量方程，用分离变量法可求得其通解为 当时，称为非齐次方程，其求解步骤为： 写出对应的齐次方程，求得其通解。 将齐次方程通解中的C变易为一个函数，设非齐次方程的通解为。 将代入非齐次方程得，所以。 由上一步可知非齐次方程的通解为。 典型例题： （1）微分方程是 阶微分方程。 （2）微分方程的通解是 。 （3）方程的通解是 。 （4）求微分方程的通解。 （5）求微分方程满足初始条件的特解。 线性代数部分部分知识点及典型例题 计算行列式： 行列式的性质。 三角行列式与对角行列式的值等于其对角线元素的乘积。 降阶法，即行列式展开：行列式的值等于其某一行（一列）元素与各自代数余子式的乘积之和。 典型例题： （1）如果＝1，= 。 （2）的充分必要条件是 。 （3）计算，。 矩阵乘法。 矩阵与能进行矩阵乘法的条件是A的列数等于B和行数，即。 若与，则其乘积，其中。 典型例题： （1）已知，，则 。 （2）已知，，则 ；BA= 。 （3）矩阵A与B能进行乘积运算AB的充要条件是 。 利用行变换求矩阵的秩。 矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵所包含的非零行的