2015年秋初等数论第一次作业.doc

初等数论第一次作业 简答题 叙述整数a被整数b整除的概念。 答：设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。 答：设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。 答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。14的所有质数为2,3,5,7,11,13 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。 答：一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。 5. 不定方程有整数解的充分必要条件是什么？ 答：不定方程有整数解的充分必要条件是。 6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。 答：没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。 7. 写出一组勾股数。 答：一组勾股数为3,4,5。 写出两条同余的基本性质。 答：同余的基本性质为： 性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则 ①a≡a（mod m）； ②若a≡b（mod m），则b≡a（modm）； ③若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。 性质3 ①若（modm），（modm），则（modm） ②若a＋b≡c（modm），则a≡c－b（modm）。 9. 196是否是3的倍数，为什么？ 答：196不是3的倍数。因为由定义可知 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。 10. 696是否是9的倍数，为什么？ 答：696不是9的倍数。因为由定义可知 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。 叙述孙子定理的内容。 答：孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数, （1)设, 则同余式组(1)的解是 (2)其中是满足的任一个整数，i＝1,2,…,k。 叙述算术基本定理的内容。 答：任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数 ， 其中是质数，并且若，,其中是质数，则m＝n，，i＝1，2，…，n。 给出模6的一个完全剩余系。 答：模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。 给出模8的一个简化剩余系。 答：由于8的标准分解式为8=23，所以 所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模8不同余。比如1,7就是模8的一个简化剩余系。 15.写出一次同余式有解得充要条件。 答：一次同余式有解的充要条件是(a,m)|b。