2-3 多元函数的微分.ppt

一、全微分定义 二、可微的条件 三、小结 * 第三节 全微分及其应用 一、全微分的定义 二、 可微条件 三、 小结 习题课 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 (1) 全增量的概念 如果函数 在点 的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一点，则称函数在这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量 的全增量，记为 ，即 (2) 全微分的定义 例如, ,在 平面上任取一点 当 取得增量 时,函数值的增量为 取 所以 在 平面上可微. （3）可微与连续之间的关系 事实上 反之成立吗？ 例如， 在(0,0)处连续。 但是 无法表示成 的形式。所以函数 在(0,0)处不可微。 证 总成立, 同理可得 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， 则 当 时， 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件)如果函数 的偏导数 、 在点 连续 ，则该函数在点 处可微分． 习惯上，记全微分为 定理３　函数　　在点　　　可微的充分必要条件是函数　　在点　　　的改变量可表示为 其中　和　是　和　的函数，且满足　 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 解 所求全微分 解 因为 例2 (980305) 求函数 的全微分. 同理 所以 例3 证明函数 在点(0,0)的邻域内 都存在，但 在点(0,0)处 不连续； (1) 在(0,0)点连续； (2) (3) 在(0,0)点可微. 证 (1) 令 则 (2) 同理 所以 (3) 不存在. 例 4 设函数 在(0,0) 的某个邻域内连续, 还需 要满足什么条件 存在? 在(0,0)处可微? 解 因为 处连续, 所以 要使 存在，则应有 此时， 也存在。 即当 时偏导数 存在。 要使 在(0,0)处可微，应有 成立，即 成立。 因为 而 在(0,0)点的某个邻域内连续， 根据可微与可导的关系知， ，从 而 所以当 时，函数 可微。 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 全微分在近似计算中的应用 也可写成 解 由公式得