1 第一章_复数与复变函数.ppt

即： 例8． 解： 其解为 作业：练习册 1.1 复数 练习册 1.2 复数的三角表示与指数表示 复习：高等数学第九章第一节多元函数的基本概念 第三节 平面点集的一般概念 研究复变函数问题，和实函数一样，每个复变量都有自己的变化范围，复变量的变化范围同于二元函数的变化范围． 一、开集与闭集 1.邻域： 2.内点： 3.开集： 4.余集与闭集： 5．边界： 6．孤立点： 7．有界集与无界集： 二、区域 1．连通： 设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的． 2．区域： 连通的开集称为区域，记为D． 3．闭区域： 区域D与它的边界一起构成闭区域， 4．圆环域： 5.角形域： 例1．试说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域： 解： 1．光滑曲线 光滑曲线 由若干段光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线． 三、平面曲线 2．简单闭曲线 则称这条曲线为简单闭曲线． 简单闭曲线 非简单闭曲线 3、复数形式的一般方程 定义：若平面上曲线的一般方程为： 则定义 为复数形式的一般方程。 定义：若平面上曲线的参数方程为： 则定义 4、复数形式的参数方程 例2． 解： 为复数形式的直线方程 例3． 解： 参数方程为 由参数式得复数形式参数方程为 例5． 参数方程为 解： 例4． 解： 直线的参数方程 * * 第一章 复数与复变函数 内 容 提 要 复变函数就是自变量为复数的函数，本章先学 习复数的概念、性质与运算，然后再引入平面上的 点集、复变函数极限、连续．本章中的许多概念在 形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处，可 以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数 域中的推广． 第一章 复数与复变函数 1.1 复数 1.2 复数的三角表示 1.3 平面点集的一般概念 1.4 无穷大与复球面（不讲） 1.5 复变函数 第一节 复数 一、复数的基本概念 (p1) 二、复数的代数运算(p2) 1. 复数的和、差、积、商、模 和与差： 积： 商： 注：复数的运算满足交换律、结合律、分配律． 模： 2．共轭复数及性质 (p3) 重要性质： 注：复数的共轭性质在实际计算和证明中有广泛应用 例1．计算复数 解： 法一（商的公式） 法二（共轭性质） 注：某些情况应用共轭性质计算显得简单，在计算中要灵活运用共轭性质。 例2． 解： 由题意得 例3． 解： 例4 (p4) 证明： 证法二： 第二节 复数的表示法 一、复平面(p4) 定义： 复数的模： 复数的辐角： 主辐角： 注：复数的辐角Argz是多值的 二、复数的表示法 1．复数的向量表示法 (p7) 因此 显然有不等式： 复数、复平面上点、 向量之间一一对应 2．复数的三角表示法 (p9) 利用直角坐标与极坐标的关系： 复数的三角表示式： 3．复数的指数表示法 (p44) 欧拉公式： 复数的指数表示式： 注意：复数的三角表示式和指数表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式（指数表示式）相等： 则可以推出： 主辐角值的确定（p7） 例1． 解： 于是 例1． 解： 于是 例1． 解： 于是 于是 例2： 主辐角 解： 模 三、用复数的三角表示及指数表示作乘除法(p10) 模 辐角 注1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐角之和． 模 辐角 注1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐角之和． 说明： 注2：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差． 证明： 模 辐角 例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数 解： 例5．用三角表示式和指数表示式计算下列复数 四、复数的乘方与开方 (p12) 1．乘方公式 这公式称棣摩弗公式． 四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式 2．开方公式(p13) 注： 复数的乘方与开方 (p12) 1．乘方公式 2．开方公式(p13) 注：取 例7．计算下列各题： 解：