2017年江苏省专转本高数第六章第三节向量的数量积、向量积与混合积.ppt

* 空间解析几何 第六章 §3.向量的数量积、向量积与混合积 数量积 向量积 混合积 §3 向量的数量积、向量积与混合积 一、两向量的数量积 1.数量积的定义 定义1 记为a·b， 两个向量a与b的数量积等于 又称数积、内积、点积，其值为一个数量。 及其夹角?余弦的乘积， 即a·b= |a| · |b|cos?， 两个向量的模|a|、|b| 其中 对这个定义作几点说明： 两向量的数积是一个数量而不是向量 (2)若a,b中至少有一个是零向量，则 不能确定，但它们的数积是0 (3)两个向量的数积等于零的充要条件是a=0或b=0 或 规定：零向量垂直于任何向量 因此，两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零 当a,b为两非零向量时，根据定理有OM=射影ba a.b= |a|.射影ab =|b|.射影ba （见下图） a b A M B O (a) A M o B a (b) 定理: 向量的数量积满足下列运算规律 特别地,当b为单位向量e时,有 a.e= |b|.射影ea=射影ea 当a=b,则有a.a= |a|. |a|cos0= |a|2 特别地,当a为单位向量时,a.a=a2= |a|2=1 1)交换律: a.b=b.a 2)分配律: a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 3)对于数的结合律: 2.数量积的坐标表示法 在直角坐标系下 ，向量的数量积有下面性质 定理: 设a?{X1? Y1? Z1 }? b?{X2? Y2? Z2 }? 则 a·b? X1 X2 +Y1 Y2 + Z1 Z2 ? 3.向量的模与方向余弦的坐标表示法 定理: 设向量a?X i+Y j +Z k ，则 |a|= 非零向量与三坐轴之间的夹角叫做该向量的方向角，方向角 的余弦叫做向量的方向余弦，向量的方向余弦也可用向量的 坐标表示 定理: 设非零向量a?X i+Y j +Z k与x轴,y轴，z轴的夹角分别为 (即a的三个方向角)，则有 且 例1 在xoy平面上找一单位向量，使它与向量 垂直。 解：设在xoy面上所找的向量为 则 即 例2 求与向量a=2i-j+2k共线且满足a·x=-18的向量x. 解：因为a与x共线，则必存在?≠0，使 所以 ?= -2 x={-4,2,-4} x= ?a={2 ?,- ?,2 ?},又a·x= -18,即 4 ?+ ?+4 ?=-18 解： 因 所以 构成一个等边三角形且 且 求 例3 设 是单位向量， 且 二、两向量的向量积 1.向量积及其运算规律 定义2 则称c为a,b的向量积，记为c=a×b, 又称为叉积或矢量积. 设有向量a,b，定义c如下： c的方向由a,b按右手法则确定， c的模|c|=|a|·|b|sin?； (其中?为a,b的夹角） 注： a×b是一个向量；而且其特征为方向与a与b都垂 直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。 即 向量积的性质： ① a×a=0; 向量的叉乘积不满足交换律 ⑤两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b=0 ④?(a×b)=a ×(?b)= (?a) ×b ③(a+b) ×c=a ×c+b ×c ② b×a=- a×b *