20世纪数学的开端.doc

20世纪数学的开端（1900－1918） 在19、20世纪之交，法国的H.庞加莱（Poincare ,1854-1912 ）是无可争辩的数学领袖。他的三体问题、微分方程的定性理论、拓扑学的大量原创性研究，成为挖掘不尽的数学宝藏。如果说庞加莱主要以自然科学的实践背景为数学研究的源泉，那么德国的希尔伯特则更多地从数学本身的完善上寻求数学的进步。他的著名工作数论报告、几何基础、抽象积分方程与抽象抽象空间。希尔伯特倡导的形式主义学派，成为20世纪的主导数学哲学。 这一时期最重要的数学事件，是爱因斯坦的相对论把新时代的几何学推到了科学的最前沿。四维时空的狭义相对论，产生了闵可夫斯基空间几何。弯曲时空的广义相对论，使得张量分析、黎曼几何、高维几何成为物理学革命的工具。我们生存的宇宙空间，可以用黎曼在1867年创立的高维流形和曲率理论来描述。人们不禁惊叹造化之工，数学之巧。 在物理学推动数学发展的同时，纯粹数学也以惊人的方式大步前进。19世纪初，J.B.傅里叶；（Fouier,1768－1830）提出的调和分析，是众多数学分支的出发点。G.康托尔(Cantor.1845-1918)从研究傅里叶级数的唯一性提出”点集”的概念,以后发展为”集合论”,成为所有抽象数学的表述工具。法国的H.勒贝格(Lesbegues,1875-1941)创立了建立在可列可加测度上的积分理论，使得许多黎曼意义下不可积的函数也可以进行傅里叶展开，实现了一次积分革命。康托尔和勒贝格建立的数学理论，常常涉及一些没有导数的病态函数、没有切线的奇异曲线，以及看上去千疮百孔的怪异集合。当时的数学家难以想像勒贝格积分竟会成为20世纪工程师手中的工具。 康托尔的集合论是一个怪物，他所建立的关于无限集合的超限数理论很难使人接受。例如，正方形一边上点和对角线上的点一样多。康托尔本人也陷入了自己提出的一个悖论：由一个基数（cardin number）构成的集合S中大于S的所有基数。这使康托尔日夜难寐。当时德国数学界的当权人物克罗内克（Kronecker,1823-1891.）曾对康托尔的无限观进行猛烈的抨击，反对康托尔进入柏林大学。康托尔于1884年患精神分裂症，病情时好时坏，1918年病逝于哈雷精神病研究所内。希尔伯特是康托尔数学业绩的积极支持者。他曾说：“没有人能把我们从康托尔所创造的天国中赶走。” 1903年，英国哲学家、数理逻辑学家B.罗素（Russell,1872-1970）发现了一个十分简单的悖论：考察一切不以自身为其中一元素的集合所构成的集合B。如理发师悖论：一个理发师声称：他不给给自己理发的人理发。那么他能不能给他自己理发呢。这触发了数学基础的大论战，史称“第三次数学危机”为避免罗素悖论。罗素提倡“逻辑主义”认为数学即逻辑，只要数理逻辑没有矛盾，数学就不会有矛盾，而且是永远正确。希尔伯特则提出“形式主义”认为数学研究对象可以不必考虑实际意义，无非是一些对象按一套公理作形式演绎的结果。只要公理无矛盾、独立、完备，数学就永远绝对正确。直觉主义则采取保守态度，不承认自然数全体所组成的集合，反对使用排中律，主张“数学对象的存在，必须能够构造”，因而把数学发、限制在很小的范围内。逻辑主义想把数学划归为逻辑的愿望未能实现。但留下了“数理逻辑”这门重要的学科。希尔伯特的形式主义后来被K.哥德尔（Godel,1906-1978.）的两个不完备定理所否定。寻求数学绝对严格基础的理想随之破灭。但是，形式主义的思想为后来的布尔巴基学派所继承和发展，对20世纪数学观念的影响极为深刻。直觉主义的思想过于保守，束缚了数学家的手脚，也没有得到广泛承认。只有构造主义的想法，随着电子计算机的出现，获得了新的生命力。 20世纪初，英国的分析学派非常强大。G.哈代（Hardy,1877-1947）和李特伍德（Littlewood,1885-1977）是领袖人物。他们在一个时期中的解析数论、单复分析、不等式、级数等在“硬”分析领域里有很高建树。哈代发现并培养了印度传奇数学家拉马努詹（Ramanujan,1887-1920）。拉马努詹未受过正规教育，在不知道什么是现代意义下的严格证明的前提下，完成了大量的数学工作。拉马努詹的笔记本，写满了大量公式，但没有详细的证明。60多年之后，美国的B.C.Berndt把拉马努詹笔记本加以整理，完成证明，分三册出版。该书的研究表明，除少量公式有误之外，拉马努詹笔记本中的绝大部分是正确的。拉马努詹是如何进行思考的？这一数学之迷，仍有待解开。 经典的数学应用工作，仍在深入进行。力学、电学、光学、机械工程、建筑工程中的数学问题被大量研究。引人瞩目的工作是数理统计学以“生物统计学”的形式开始出现。标准差、平均差、相关等术语，在1901年由K.皮尔逊创办的《生物计量学》杂志上陆续使用。