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3.1.5空间向量运算的坐标表示 教材分析 本节内容是数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何第五节 空间向量运算的坐标表示，本小节是在介绍了空间向量的正交分解的基础上，通过类比平面向量的运算，从二维平面拓展到三维空间.完成了从几何运算到代数运算的转换. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解用空间向量的坐标表示平行,垂直,模与夹角的问题,为下一步解决空间几何问题打下基础. 教学目标 重点:空间直角坐标系，空间向量的坐标表示. 难点：空间向量的坐标的确定及运算 知识点：掌握空间向量坐标运算的规律 能力点：用空间向量解决简单的立体几何问题. 教育点：用类比的方法研究空间向量问题. 自主探究点：用空间向量基本定理研究空间几何问题. 考试点：证明平行与垂直,求角和距离. 易错易混点：基底和坐标系的选取与使用. 拓展点：求平面的法向量. 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 引入新课 （1）复习平面向量的坐标运算 1平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得=+ 把叫做向量的（直角）坐标，记作 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地， ， ， 0 2．平面向量的坐标运算 若， ，则 (1) ， (2) ， (3) (4) （5）a∥b (b(0)的充要条件是x1y2-x2y1=0 （6） （7） （8）cos＜＞＝ （2）复习空间向量坐标的定义 【师生活动】师：请同学们回顾一下空间向量坐标的定义？ 生：设是空间中三个两两垂直的向量,且有公共起点．对于空间任一向量,根据空间向量基本定理,存在唯一的一个有序实数组使得 ,记作 师：设,,请同学们根据坐标定义计算: 【设计意图】 通过回顾空间向量的坐标的定义,引出本课题． 【设计说明】既空间向量坐标的定义,又自然地引出坐标运算的话题，类比平面向量，由二维空间推广到三维空间. 二、探究新知 师：,,表达了什么信息? 生：．如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量， 则存在唯一的有序实数组，使 ， 则， ， ， ， ， ． 三、理解新知 与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已即由变成了. [设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫. 四、运用新知 例1 已知，，求，，，，． 解：， ， ， ， ． [设计意图]让学生练习运用向量的坐标进行运算. 例2．已知向量，． 判断与的位置关系； 若，求|； 若，求在方向上的投影. 解:(1),所以,; (2),得 (3),得,,所以在方向上的投影为 . [设计意图]让学生练习两个向量平行与垂直的的向量坐标表示. 例3．在正方体中，分别是的中点，求证平面． 证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，如图建立空间直角坐标系， 则，， ， ∴， 又，， ∴，， 所以，平面． [设计意图]运用坐标法解决空间几何中的线面垂直问题,让学生体会空间向量是解决立体几何问题的有效工具. 五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：空间向量的坐标运算． 2．思想：类比思想、数形结合的思想． 教师总结: 本节课,我们从平面向量的坐标定义及坐标运算,运用类比的方法,结合上节课学习的平面向量基本定理和空间向量坐标的运算,完成了由二维平面到三维空间的拓展,与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已. [设计意图] 让学生充分认识到知识的发展过程,从整体上把握住本节的知识体系． 六、布置作业 1．阅读教材P95—96； 2.书面作业 必做题：P97 练习2,3. P98习题 7,8,9,10 选做题：如图直三棱柱ABC-A的底面ABC中棱AA分别是A的中点．(1)求的模；(2)求异面直线BA与CB所成角的余弦值；(3)求证：A 1