29+30.二重积分.ppt

下面讨论面积元素在极坐标下的表示 　　用以极点为中心的一组同心圆，从极点出发一组射线，将区域 分成 小区域 * 第五节 二重积分 一、二重积分的概念与性质 二、二重积分的计算 柱体体积=底面积×高 特点：平顶 1.曲顶柱体的体积 一、二重积分的概念与性质 曲顶柱体： 以曲面z=f(x,y)为顶， z=f(x,y)在D上连续. 以平面有界区域D为底， 侧面是柱面， 该柱面以D为准线， 母线平行于z轴. 柱体体积=？ 特点：曲顶 曲顶柱体 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、作和、取极限”的方法，如下动画演示 步骤如下： 用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 先分割曲顶柱 体的底，并取典型小区域 D z =f (x, y) y x z ? (1) 分割 (2) 近似 (3) 作和 (4) 取极限 令 存在,且此极限的取得与闭区域 D的分法及点 的取法无关,则称这个极限为f (x, y)在D上的二重积分，记为 定义4-7 设f (x, y)是有界闭域D上的二元连续函数，将闭区域D任意分成 个小闭区域 其中 表示第 个小闭区域,也表示它的面积.在每个小闭区域 上任意取一点 ,作和式 2.二重积分的定义 令d表示 中最大直径,若极限 积分区域 积分变量 积分和 被积函数 面积元素 为积分表达式 曲顶柱体体积 注意 二重积分存在,则积分值与 的分法无关.因此,为了方便计算,在直角坐标系中我们用若干条平行于 轴、 轴的直线将　分成 个小区域. 故二重积分可写为 则面积元素为 积分变量 D dy dx 性质4-1 为常数时 性质4-2 3.二重积分的性质 性质4-3 对区域具有可加性 性质4-4 若 为D的面积，则 性质4-5 若在D上 则 性质4-7 （二重积分中值定理） 性质4-6 设 、 分别是 在闭区域D上的最大值和最小值， 为D的面积，则 设函数 在闭区域D上连续, 为D的面积，则在D上至少存在一点 ,使得 1.直角坐标系下的计算 二重积分仅与被积函数及积分区域有关,为此, 先介绍积分区域D. 二、二重积分的计算 (1) －型区域 的特点：平行于y轴且穿过区域 的直线与区域边界的交点最多只有两个. －型区域 (2) －型区域 的特点：平行于 轴且穿过区域 的直线与区域边界的交点最多只有两个. －型区域 (3) 矩型域 －型区域下二重积分的计算: 　 由二重积分的几何意义，若?(x，y)≥0，则 其中V为如图所示的曲顶柱体的体积. 下面用微元法来求曲顶柱体的体积 在区间上任取一点 ,作平行于 的平面,截曲顶柱体,得到一截面,此截面的面积 曲顶柱体在间距为 的两个截面间的体积微元 由微元法可得曲顶柱体的休积 故 (4) 若 ?(x，y)≤0 仍然适用. 注意 (1) 二重积分可化为二次定积分计算; (3) 为方便,公式也常记为： (2) －型区域的积分次序先　后　; －型区域的积分次序先　后　. 或 －型域下二重积分的计算 同理: 矩形域下二重积分的计算 特别地,若 ,则 因为 对 积分是常数,且 是常数.所以 解法一 先积 再积 例4-32 计算二重积分 ,其中 为 矩形： 解法二 先积 再积 解 ［X－型］ 例4-33 求 ,其中 是由抛物线 和 所围成的区域. 例3-34 -1 2 解 （如图)将D看作Y型 按先y后x的方法如何计算呢? 例4-35 计算 ,其中 由直线