3-2,3 柯西积分定理15.pdf

dz 例1 计算∫C n+1 ,其中C为以z0 为中心, (z −z ) 0 r 为半径的正向圆周, n 为整数 it it 解: C 的参数方程: z z0 +re , 0 ≤t ≤2π dz ire dt it dz 2π rie i 2π ∫ 1 ∫ 1 ( 1) dt −int C − n+ 0 n+ i n+ t ∫ e dt (z z ) r e n 0 0 r i 2π n ∫0 (cosnt −i sin nt ) dt r 2 i, n 0 dz ⎧π 即 ∫|z −z0 | (z −z )n+1 ⎨⎩0, n ≠0 0 这个结果以后经常用到, 它的特点是与积分路线的中心 及半径无关。 例2 计算 (z 2 +zz )dz , C 为| z | 1上半部分从z1 1到 ∫C z2 =−1的弧。 解: C 的参数方程 z eit , 0 ≤t ≤π it −1 1 dz ie dt 而 z 2 +z ⋅z ei 2 t +1 所以 π 2 i 2 t it ∫C (z +z ⋅z )dz ∫0 (e +1)ie dt π i 3t it i∫0 (e +e )dt 1 i 3π 1 iπ 8i e − +e −1 − 3 3 3 3 分别计算积分 zdz 及 zd