3-4柯西积分公式16.pdf

§3.4 柯西积分公式 一、柯西积分公式 定理 若f (z ) 在区域 D 内处处解析, 在C ∂D 连续, C 为正向简单闭曲线 , 对∀z0 ∈D , 则有 1 f (z ) f (z 0 ) ∫C dz 2πi z −z 0 称之为柯西积分公式。 说明: (1) 通过柯西积分公式 , 可以把函数在 C 内部任 一点z 的值用它在边界 C 上的值通过积分来表示 ; (2) 给出了解析函数的一个积分表达式: ( ) f z dz 2πif (z ) ∫C 0 z −z0 ( 3) 积分曲线 C 可以是解析区域 D 内部的包含 z 的任意曲线 0 特别地, 若定理中区域 D 为圆周 C : z z0 +re iθ围成, 则 iθ 1 f (z ) 1 2π f (z0 +re ) iθ f (z ) dz ⋅re ⋅idθ 0 ∫C ∫0 iθ π π 2 i z −z0 2 i re 1 2π iθ 2π ∫0 f (z0 +re )dθ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值. 例 计算下列积分( 沿圆周正向) 值: 1 cos z 3z −1 ( 1) 2πi ∫|z | 4 z dz ( 2) ∫|z | 4 ( z +1)( z −3) dz 解: ( 1) f ( z ) cos z 在| z |≤4 内解析 1 cos z 1 cos z 2πi ∫|z | 4 z dz 2πi ∫|z | 4 z −0 dz cos z z 0 1 3z −1 1 2 (2) + + − + − (z 1)(z 3) z 1 z 3 3z −1 1 2 ∫|z | 4 (z +1)(z −3) dz ∫|z | 4 z +1 dz +∫|z | 4 z −3 dz