3-4++函数的单调性曲线的凹凸性.ppt

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 作 业 * * 一、函数单调性的判别方法（重点） 二、曲线的凹凸性与拐点（重点） 三、不等式的证明（重点） 四、小结 Lagrange定理 给出了 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、凹凸、 拐点。 一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。 1.用定义判别 第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。 这就启示我们：能否利用导数的符号来判定函数的单调性 ？回答是肯定的。 2.用函数导数的符号判别函数的单调性 进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的 定理1 证 应用拉氏定理,得 ⑴ ⑵ 注 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多 有限个不可导点，而在其余点处均有 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用 ③函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 例1 解 开区间上讨论，闭区间上结论。 例2 解 3、单调区间求法 问题:如上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 例3 解 1 · 2 · ＋ － ＋ 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, 例4 证 4. 证明不等式（利用函数的单调性） 例5 证 或 二级判断 利用单调性证明不等式的步骤： ①作辅助函数f(x): 将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x) ②求 验证f(x)在指定区间上的单调性 ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证 二、曲线的凹凸性与拐点 前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧， 这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。 1、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 2、曲线凹凸的判定 定理1 证明 分别应用L—定理，得 (1)－(2)： 由假设 ⑴ ⑵ 同理可证（1） 注 1.定理的结论可推广到任意区间上； 2.利用函数的一阶导数在该区间的符号来判断曲线的单调性； ＋ － ＋ － 3.利用函数的二阶导数在该区间的符号来判断曲线的凹凸性。记法： 例1 解 0 1 x y 例2 解 注意到, － ＋ · 3、曲线的拐点及其求法 1.定义： 2.拐点的求法 方法1: 注： 二阶导数等于零或不存在的点，不一定是拐点。 例3 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例4 解 0 x y 方法2: 证 由保号性定理知 由拐点的定义知 是曲线的拐点。 例5 解