3.2 特殊函数及其应用.ppt

数学物理方法 第三章 特殊函数及其应用 3.2 常微分方程的幂级数解 概述 常点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 本章小结 三、正则奇点邻域二阶常微分方程的解 （3）整数m阶塞尔方程的解（m=0，1，2…） Nm(x)称为m阶诺伊曼函数 阶 ? ?整数或半整数、 ? ＝整数、? ＝半整数 可是，当?→整数m，这个表达式成为不定式0／0， 必须运用罗毕达法则求极限其结果是 对于m＝0的情况，对n的有限求和项 不存在。 记号C代表欧拉常数， 或者，让我们尝试定义的诺伊曼函数 在 的邻域上，m阶贝塞尔方程 两个线性无关的解为: Jm(x)的收敛半径为R=∞ Nm(x)的收敛范围为 记 称为?阶的诺伊曼函数 本 章 小 结 方程的常点和奇点 正则奇点 常点邻域上的级数解 定理 以l 阶勒让德方程为例 系数的确定 合并同幂次的项列表 正则奇点邻域上的级数解法 贝塞尔方程的级数解 定理 * * 一、概述 分离变量法 直角坐标系、平面极坐标 本征函数是三角函数 实际 正交曲面坐标系 （球坐标系和柱坐标系） 拉普拉斯方程的分离变量 球坐标系 勒让德方程 m = 0 l 阶勒让德方程 柱坐标（?，?，z） 贝塞尔方程 柱坐标系 拉普拉斯方程 ? 阶贝塞尔方程 求解线性二阶常微分方程 （带初始条件） 级数解法 收敛问题 方程的常点和奇点 （1） 方程（1）的系数 p ( z ) , q ( z ) 均在某点 z0 的邻域内解析； 称 z0 为方程的常点。 z0是系数 p(z) , q(z) 的孤立奇点；称 z0 为方程的奇点。 正则奇点 z0是 p(z) 不超过一阶的极点 , 又是 q(z) 的不超过二阶的孤立奇点; 称 z0 为方程的正则奇点。否则为非正则奇点。 常点 奇点 z: 复变数； p(z), q(z) y(z):复变函数 二、常点邻域上的级数解法 定理 如果方程 的系数 p (z) , q (z) 在点 z0的邻域 内解析，则方程在这圆内存在唯一的解析的解 y (x)，满足初始条件 表示成泰勒级数的形式 以l 阶勒让德方程为例 系数的确定 （C0 , C1为任意复常数） a0 , a1 , …ak , …待定系数 勒让德方程的级数解 即 在 x0 = 0 的邻域上求解l 阶勒让德方程 方程的系数 在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析 ? x0 = 0 是方程的常点, x=±1是奇点。 定理 于是 代入l 阶勒让德方程 合并同幂次的项列表…… ……… ……… 得到l 阶勒让德方程通解： 级数的收敛半径 y1为偶函数y2为奇函数 和 的收敛半径 即当 时， 和 收敛， 当 时， 和 发散。 y2(x) 和 y1(x) 在x=±1是发散的级数，而且不存在在x=±1二点同时收敛的无限级数满足Legendre 方程 注意到 l(l+1) 是分离变量过程中出现的任意常数，当l 取某些数值时，无限级数能否退化成多项式？ 得到l 阶勒让德方程通解： 性质： 奇偶性： y1为偶函数，y2为奇函数； 收敛性： 收敛半径为 1 退化性： 实际应用 勒让德方程，附有边界条件：要求 解在 x = ±1 收敛 x = cos? ,? 0? ? ? ? 当 时， 和 收敛， 当 时， 和 发散。 l 参数： l 为非负整数，则当l = n 时, 级数解退化为 l 次多项式； l 阶勒让德多项式 P l ( x ) Legendre多项式 P l ( x ) 勒让德多项式 反用系数递推公式 改写为 可以把其它系数一一推算出来： ………… 将n记为k, 求得l 阶勒让德多项式 的具体表达式为 ——第一类legendre函数 当n为偶数时 当n为奇数时 若二阶常微分方程 的系数 和 q(x) 满足以下条件：x0是 p(x) 不高于一阶段极点， x0是q(x)不高于二阶段极点， 即： 则称x0为方程的正则奇点。在正则奇点的邻域内方程两个线性无关的特解为: 当 当 当 A是否为零由方程的形式而定。 确定方法： 取A=0，求出y2(x)， 若y1(x)和y2(x)线性无关，则A=0 若y1(x)和