3.2单调性与凹凸性.ppt

一、导数符号与单调性 二、单调性的判定步骤 1.在 f 的定义域上求 f? 的零点(f的驻点)及 f? 不存在的点； 2.用 f的驻点及 f? 不存在的点将 f 的定义区间划分为子区间； 3.根据 f? 在各子区间内的符号及 f 在各子区间端点处的连续性确定 f 的单调性。 4. 二、三两步可借助于表格方式完成。 * 第二节 导数的应用 函数的单调性的判别 学习重点 曲线凹凸向的判别及拐点的确定 定理1 证 在区间 内任取两点 则 在 上满足拉格朗日定理 所以 (1)若在 内 ，则 于是可得 即 则函数 在 内单调增加 (2)若在 内 ，则 于是可得 即 则函数 在 内单调减少 【说明】 （１）判定法中的闭区间换为开区间、半开区间或无穷区间，结论仍然成立． （２）若函数在区间I内仅在个别点处为零，而在其它点处仍满足定理的条件，则定理的结论仍然成立． 例1 求函数 的单调区间 解 令 得驻点 列表讨论 + 0 _ 0 + 3 -1 所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。 例2 解 例3 解 例4 证 注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。 定义3.2 若曲线弧位于其上每一点的切线的上方， 则称此曲线弧是上凹的(concave) ，如图（ａ）； 若曲线弧位于它每一点的切线的下方， 则称此曲线弧是下凹的(convex) ．如图（ｂ）． （ａ） （ｂ） 三、二阶导数符号与凹凸性 1、凹凸的判定 定理3.4 (曲线凹凸性的判别法) 设 在区间 内具有二阶导数 则有： (1)若在 内 ，曲线在 内是上凹的； ，曲线在 内是下凹的； (2)若在 内 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点 (inflection point)． 2、拐点的判定(inflection point) 拐点只能是 f?? 的零点或 f?? 不存在的点。 四、凹凸与拐点的判定步骤 例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。 所以，函数的图形在 内是向上凹的。 证明 函数的定义域为 判断曲线 y=lnx 的凹凸性 内是凸的。 解答 所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。 解 函数的定义域为 例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。 令 得 因为 例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。 解 因为 所以，当 时， ，当 时， 所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。 有拐点 。 小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点； 这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。 如曲线 ，在 内是向上凹的，虽然 但 不是拐点。 例4 解 拐点 非拐点 五、渐近线 定义: 1.铅垂（直） 渐近线 例如 有铅直渐近线两条: