3.2线代的3.2线代的.ppt

3.2.3 两矢量的失性积 M A F O r P 例:力F关于定点O的力矩是矢量M 大小:|M|= |F|P= |F| |r|sinr ，F 方向:依r，F，M顺序构成右手系 a，b，c 构成“右手系”: 把a，b，c三个向量的起点放在一起， 将右手的四指(不含拇指)由a转到b ， (转过的角度 a ，b 小于 ) ， 则伸开的拇指的指向c的方向 定义1 两矢量的失性积(外积)是一个矢量， 记为 其中： 方向与 都垂直，并且按 的 顺序构成右手标架. 定理2：两矢量共线的充要条件是两矢量的外积 为零矢量. 定理1：两不共线矢量失性积的模等于以这两个 矢量为边的平行四边形面积. 失性积性质 (1) 反交换 (2) 结合律 (3) 分配律 无消去律 a×b=a×c b=c a b c 3.2.4 几何向量的混合积 （1)定义 [abc]=(a×b)·c =|a×b||c|cosa×b,c （2)几何应用 （i) 以a，b，c为棱 的平行六面体体积: a×b a b c V=|[abc]| （ii) a，b，c 共面 [abc] =（a×b）·c =0 （a×b）⊥c 存在不全为0的数k、l、m 使 ka+lb+mc=0 4 （3)性质 轮换性： [abc]= [bca]= [cab] ×与·互换性： （a×b）·c= a·（b×c） 互换两向量,差一符号 ： [abc]= -[bac]= -[cba]=- [acb] 定义1：由空间中一定点 与三个不共面的两两 相互垂直的有序单位矢量 构成的空间 称为笛卡尔直角坐标系. 一般表示为 . 定义2：在坐标系 下，如果 则称(x,y,z)为 的坐标. 3.2.5 矢量坐标 空间直角坐标系的建立 坐标原点： O 横轴： x轴 纵轴： y轴 竖轴： z轴 三条坐标轴相互垂直， 其正方向符合右手系 。 y z O x 每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。 x y O z x y O z x y O z yoz平面 xoy平面 xoz平面 三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限。 o x y Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ Ⅶ z 1 向量坐标 过点M (x, y, z) ，分别作平行 于三个坐标平面的平面，交三 个坐标轴于P、 Q、 R 三点。 设 分别表示沿x轴、 y轴、z轴正方向的单位向量. 则 O x y z P R Q M 由向量加法的多边形法则得到 O x y z P R Q M 起点在原点的向量的坐标就是它的终点的坐标 2 向量坐标 起点M1(x1 , y1 , z1)、终点M2(x2 , y2 , z2). o x y z M1 M2 设向量 则 3.2.6 向量的线性运算的坐标表示式 定理1：设a=X1i+Y1 j+Z1k, b=X2i+Y2 j+Z2k, 则 证明：由于i, j, k为两两相互垂直的单位矢量，故 所以 定理2：若 ， 则 证 由于 为三个相互垂直的单位矢量，则 证: 定理3：若 则 ·向量的模 向量的方向坐标表示法 ·方向角 : 非零向量与三条坐标轴的夹角 向量 o x y z P Q R M1 M2 α β γ ·方向余弦 ·方向余弦的关系 ·与非零向量a同方向的单位向量