3.3.3条件分布.ppt

§3.3 二维 r.v.的条件分布 设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布 若 则称 为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律 二维离散 r.v.的条件分布律 §3.3条件分布 若 则称 为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 特别地，当X,Y独立时， 例1 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0p1)， 射击进行到击中目标两次为 止. 以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数. 试求X 和Y的联合分布及条件分布. 解：依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m}表示首次击中目标时射击了m次 n次射击 击中 2 n n-1 1 ………………. m 击中 n=2,3, …; m=1,2, …, n-1 由此得X和Y的联合概率函数为 不论m(mn)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于 n次射击 击中 2 n n-1 1 ………………. m 击中 每次击中目标的概率为 p P(X=m,Y=n)=？ 为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘概率函数是： m=1,2, … Y的边缘概率函数是： n=2,3, … 于是可求得： 当n=2,3, …时， m=1,2, …,n-1 联合分布 边缘分布 n=m+1,m+2, … 当m=1,2, …时， 二维连续型随机变量的 条件分布和条件密度 连续条件分布 考虑 设 当X 连续时, 在Y=y的条件下的条件分布用 来定义， 记为 即 设 是连续函数，并且 则根据定积分中值定理 其中 于是，当 时，有 两边对x求导，即得在Y=y的条件下连续随机变量X的条件概率密度函数 同理，设 可得在X=x的条件下连续随机变量Y的条件分布函数 及条件概率密度函数 若 f (x,y) 在点(x, y) 连续, f Y (y)在 点 y 处连续且 f Y (y) 0, 则称 为Y = y 时，X 的条件分布函数. 定义 为在 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f. 称 为在 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f. 称 类似于乘法公式： 为在X = x 的条件下Y 的条件分布函数; 类似地, 称 （1）求（X,Y）的分布函数； （2）求关于X的边缘分布密度fX(x); （3）求f Y|X(y|x); 例2 设(X,Y)的概率密度是 解： （1）分区域讨论 具体函数见书（p60面） 每周一题8 设随机变量 Z 服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量： 求 ( X , Y ) 的联合分布律. 问 题 x y - ?y y ?y 设 x y -?y y