3.3.3函数的最值与导数(一、二).ppt

Company Logo LOGO 授课人：陈淼云 3.3.3函数的最大（小）值与导数 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 左正右负，取得极大值； 左负右正，取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 一、利用函数性质 二、利用不等式 三、利用导数 求函数最值的一般方法： 函数最值问题 最大值与最小值 x X2 o a X3 b x1 y 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？ 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ (2)(和端点比较)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值. f(x)在闭区间[a,b]上的最值： (1)(找极值点)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值) ※典型例题 1、求出所有导数为0的点； 2、计算； 3、比较确定最值。 例1 变式：求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值 和最小值 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m, 若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 课堂练习 D A 3．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是(　　) A．－9　　　　　　　　B．－16 C．－12 D．－11 解析：选B.由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2. 又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9， ∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16. ※典型例题 反思： 本题属于逆向探究题型；其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 ※典型例题 ※拓展提高 我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把闭区间【a，b】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？ 不一定 函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。 如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。 有两个极值点时，函数有无最值情况不定。 ※动手试试 2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________ 解析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0， 可得a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1. 答案：(0,1) ※变式训练 解: 当x变化时, 的变化情况如下表: 从上表可知,最大值是 ,最小值是0. 令 ,解得 x 0 f(x) + - + 0 0 0 ※课堂练习 ※课堂练习