33 线性有界算子.pdf

线性泛函引论◇ 3.3 线性有界算子 3.3.1 线性有界算子的范数 定义 3.3.1 算子空间 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，线性算子空间和线性有界算子空间定义为 线性算子空间：(X →Y ) {T T 是X →Y 的线性算子} 线性有界算子空间：B (X →Y ) {T T 是X →Y 的线性有界算子} 注 1 ：下面说明(X →Y) 是线性空间．首先零算子0 ∈(X →Y ) ，即(X →Y ) ≠φ ；其次 ∀T ,T ∈( X →Y ) ，∀α∈K ，定义“加法”和“数乘”，∀x ∈X ， 1 2 (T +T )( x) T ( x) =+T ( x) ；(αT )( x) αT ( x) ， 1 2 1 2 1 1 易验证在此“加法”和“数乘”意义下，(X →Y ) 是一线性空间，从而B (X →Y ) 是(X →Y) 的 子空间． 定义 3.3.2 算子范数 Tx T 设T ∈B( X →Y ) ，定义T 的范数为 sup{ } ． x ≠0 x Tx 注2 ：(1) T 的存在性．下证T ∈B( X →Y ) ⇔ sup{ } 是有限值． T x ≠0 x Tx 一方面，当T ∈B( X →Y ) 时，∃M ，∀x ∈X ，有 Tx ≤M x ，于是M 是数集{ x ∈X ,x ≠0} x Tx 的一个上界，可见它的上确界存在，即sup{ } 存在且是有限值． x ≠0 x Tx 另一方面，若sup{ } 存在且是有限值，则有 Tx ≤ T x ，即T ∈B( X →Y ) ． x ≠0 x (2) 易验证 T 满足范数的三条公理． 综合(1) 、(2)可得上述定义的T 的范数存在且满足范数公理，故B (X →Y ) 为有界算子组 成的线性赋范空间，或简称为线性有界算子空间． 注3 ：(1)设T ∈B( X →Y ) ，T →T 表示T 依范数收敛于T ，即 n n n