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分块矩阵的应用 吴文翔 (数学与应用数学2009级 学号 摘要：通过初等变换来求行列式、逆矩阵及矩阵的秩中的具体应用，说明了分块矩阵的初等变换能简洁、快速的解决一些矩阵问题，而且该方法易理解和掌握，并给出了用分块矩阵的块初等变换来求一个可逆分块矩阵的逆矩阵的常见方法。 关键词：分块矩阵；初等变换；块初等变换；分块初等矩阵 1.分块矩阵的初等变换及应用 1.1求解行列式 利用行列式计算的性质，可推得分块矩阵A经三种初等变换后，与所得分块矩阵的行列式之间满足下列关系： （1） =。 其中s,t为变换的两行（列）中所含子块的行（列）数； （2），其中矩阵P为左（右）乘某一行（列）中所含子块的行（列）数； （3），即第三种初等变换不改变分块矩阵的行列式。 利用这些结果，再加上由拉普拉斯定理得出的一个结论，会使许多行列式的证明与计算变得非常简单。 例1 已知A，B均为n阶方阵，求证 证明 因为 所以 例2 设分块矩阵，B与C分别为可逆矩阵，求. 解 因为 所以即 . 例3 证明：. 证明： 两边取行列式，利用Laplace定理展开即得。 1.2 证明矩阵秩的不等式 引理 分块矩阵的初等变换不改变分块矩阵的秩。 引理 利用这两个引理，可以证明许多矩阵的不等式，而且证明过程简洁快速 定理1 设A，B都是矩阵，则 证明 因为 所以即得 定理2 设A、B、C分别为、、矩阵，则 证明 因为 所以 。则有 即 这个结论就是著名的Frobenious不等式。 推论1 若A，B分别为矩阵，则 证明 设E为n阶单位矩阵，则由定理2知， 特别地当AB=0时，由推论1或者由分块矩阵的初等变换： 可得到线性代数中一个重要的结论： 这个结论一般教材只有学了齐次线性方程的基础解系后才能证明，而且要用到分块矩阵相乘与解向量的线性表示等知识，方法比分块矩阵的初等变换方法复杂许多。 1.3求逆矩阵 由于一个方阵可用矩阵的初等变换，即，因此，对 于分块矩阵求逆，也可以采用分块矩阵的初等变换来求，下面就通过具体例子来说明 例4 证明：若n阶方阵A满足则可逆. 证明： = 故故可逆. . 例5 设分块矩阵其中分别为矩阵，若与都可逆，求. 解 由于 所以. 特别地，当时，则： 当时，则； 当时，则. 这与先设出分块矩阵的逆矩阵，再由相乘结果列出矩阵方程，再求解矩阵方程的方法相比较，该方法直接，不易出错，而且便于检查，特别是当矩阵中含有大量零元素时，这种方法的优越性就更加显著。 2.可逆分块矩阵的逆矩阵的简便方法 设A是一个n阶可逆分块矩阵，先作一个的分块矩阵，且对 施与相同的分法，然后对施行分块矩阵的块初等行变换，把A化为n阶单位矩阵，相应地，就化为；或者一个的分块矩阵。且对施以与A相同的分法，然后对施行分块矩阵的块初等列变换，把A化为n阶分块单位矩阵，相应地，就化为 利用块初等变换来就求分块矩阵的逆矩阵和利用初等变换求逆矩阵，方法基本相同， 所不同的是： （1） 对中的子块必须施行分块，使是一个分块单位矩阵 （2） 把“子块作为元素”处理时，必须遵守“左行右列”的规则，即变行必须 坐乘，变列必须右乘。 在一般的高等代数教科书上，都给出了用待定或利用块初等矩阵来求一个可逆分块矩阵的逆矩阵的方法，但这些方法都比较复杂，而本文所介绍达到方法很简单. 例6 设是一个分块矩阵，其中A、B分别的r阶、s阶的可逆矩阵，求. 解 因为 例7 设是一个分块矩阵，且A、B分别是r,阶、s阶的可逆矩阵，求此分块矩阵的逆矩阵. 解：因为 所以 例8 设B为n阶矩阵，=0，，证明：可逆并求. 证明：由，所以，从而，即，有可逆且 所以 即存在，使MN=E，所以M可逆且 参考文献 [1] 杨刚，吴惠彬.线性代数[M].北京：北京理工大学出版社，2002，78-90，116-122. [2] 金圣才.线性代数（理工类）考研真题与典型题详解[M].北京：中国石化出版社，2005：116-122. [3] 张秦龄，王风端，王廷桢. 高等代数思考与训练[M]. 成都：成都科技大学出版社，1993. [4] 张禾端，郝 新 . 高等代数 第3版[M] 北京：高等教育出版社，1978. - 2 -