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维普资讯 第42卷第12期 机 械 工 程 学 报 Vo1．42No．12 2006年 12月 CHINESEJOURNALOFMECHANICAL ENGINEERING Dec· 2006 3自由度齿轮系统的混沌控制木 刘晓宁 沈允文 王三民 (西北工业大学机 电工程学院 西安 710072) 摘要：针对含有时变啮合刚度的3自由度间隙非线性齿轮系统模型在其部分参数区间发生的混沌运动，提出一种 多步混沌控制方法，借助该方法实现了系统混沌吸引子内部不稳定周期轨道的稳定化。建立 3自由度齿轮系统的 动力学模型，通过对其不稳定周期轨道结构的分析，观测到系统不稳定周期轨道的Jacobi矩阵存在位于单位圆上 的复共轭特征值，以及周期轨道存在不稳定维数变异和稳定维数变异的现象，表明齿轮系统的非双曲性质。为了 解决传统混沌控制方法不适用于非双曲系统的难题，分别以不稳定周期轨道的不稳定方向和稳定方向两种途径构 造控制算法，通过连续的参数扰动将系统状态驱动到周期轨道点的局部稳定流形上。数值试验表明多步控制方法 对于高维非双曲系统的长周期轨道控制是十分有效的。 关键词：齿轮系统 非线性动力学 混沌控制 非双曲性 不稳定周期轨道 中图分类号：TH113 ， 现了含有时变啮合刚度的3自由度间隙非线性齿轮 0 前言 系统不稳定周期轨道的稳定化。齿轮系统的非双 曲 性来 自于不稳定周期轨道发生的不稳定维数变异和 齿轮系统中的齿侧间隙、支承间隙、时变刚度 稳定维数变异，针对这两种情况分别以周期点的不 等非线性因素，导致系统产生强非线性振动，在一 稳定方向和稳定方向构造控制算法，算法的核心是 定的参数区域 内表现为混沌运动，对机械传动系统 将系统状态连续地驱动到周期轨道点的局部稳定流 的工作性能和可靠性产生很大的影响l【】。因此，对 形上，同时解决了具有复共轭特征值的周期点稳定 于高性能的动力齿轮系统(如精密天线跟踪系统、自 化的问题。 ． 动武器系统)，需要采取更为有效、可行的混沌控制 方法。 1 3自由度齿轮系统的振动模型 在混沌控制理论研究领域，OGY(Ott-Grebogi． Yorke)方法2【】是一种原理简单的参数反馈控制算法。 3自由度齿轮系统非线性动力学模型 。【-9]如图 l 因其具有模型无关、可控制任意周期轨道和进行微 所示。 小参数控制等优点，在短短十几年中，得到了迅速 的发展3【】。传统的OGY方法假设欲稳定的系统 目标 周期轨道是系统的双 曲不变集，通过计算系统在周 期轨道处的线性化矩阵的不稳定特征值相对应的不 稳定特征方向，可以获得所需的参数扰动。事实上， 实际系统中出现的混沌响应是普遍非双 曲的4【】，同 时高维系统的线性化矩阵普遍具有复特征值5【】，这 ms2，Ig2，rg2 就为应用传统的 OGY方法带来了难度。国内学者 图1 齿轮系统非线性动力学模型 黄德斌指出OGY方法对于周期轨道具有临界特征 值的非双曲系统的局限性刚【，并提出了一种变量反 rgl， ——主、从齿轮的基圆直径 馈的控制方法1【。迄今为止，对于上述的特殊情形， l， ——两齿轮的转动惯量 现有的研究均局限于低维系统，很少见到对于高维 mgl，mg2——两齿轮的质量 非双 曲系统混沌控制的研究。