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4-28 -Bessel方程和Bessel函数
4.5Bessel Bessel
4.5Bessel Bessel
44..55BBeesssseell方程和BBeesssseell函数
[[ ]]
[[教学内容]]1. 介绍二阶线性齐次方程的奇点和正常点. 2. 介绍Legendre 方程.3. 介绍二阶线
性齐次方程正则奇点及Frobenius 级数解. 4. 介绍Bessel 方程和Bessel 函数.
[[ ]]
[[教学重难点]] 重点是知道具有正则奇点二阶线性齐次方程幂级数解的形式； 难点是Bessel
函数性质及其应用.
[[ ]]
[[教学方法]] 预习1、2；讲授1、2、3、4
[[[考核目标]][ ]]
1. 会判定二阶线性齐次方程的正常点、正则奇点. 2. 会求二阶线性齐次方程的幂级数解.
1.
1.
11.. 二阶线性齐次方程的正常幂级数解
（1）考察y +P(x)y+Q(x)y = 0 ，如果函数P(x), Q(x) 都在x = x0 都解析，则称x = x0 为
方程的正常点(ordinary point). 否则称x = x0 为奇异点(singular point).
（2）定理：考察y +P(x)y+Q(x)y = 0 . 假定x = x0 为方程的正常点，则方程具有形如
∞
n ，其中 为 距离方程最近奇点（实的或复的）距离.
y(x) = ∑c (x −x ) , | x −x | ρ ρ x
n 0 0 0
n =0
2 2
例如考察方程 (x +9)y +xy+x y = 0 ，以 x = 0 为心的幂级数解的收敛半径为
ρ =| 0 −(±3i) |= 3 . 以x = 4 为心的幂级数解的收敛半径为ρ =| 4 −(±3i) |= 5 .
2
70
70
例7700. Legendre 方程(1−x )y −2xy+a(a +1)y = 0 及其求解，其中a −1.
∞
解：注意到x = 0 为方程的正常点，由上述定理知，方程存在形如y(x) = ∑c xn ，其中
n
n =0
(a −n)(a +n +1)
| x | ρ ，ρ =1 . 将形式幂级数代入方程得到，cn +2 = − cn .
(n +1)(n +2)
a(a +1) (a −2)(a +2 +1)a(a +1)
由此递推得到c = − c , c =
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