4-2向量的内积.ppt

一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵 五、小结 思考题 思考题解答 * * 中南财经政法大学信息系 第四章 向量空间 定义4.4 内积的运算性质 向量的长度具有下述性质： 长度 范数 定义4.5 令 单位向量 单位向量与向量的单位化： １ 夹角的概念 例1 求下列向量的夹角 解: 3 正交向量组的概念 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 2 正交的概念 2.与自身正交的向量只有零向量。 注： 4 正交向量组的性质 证明 性质1 性质2 5 向量空间的正交基 我们仅讨论实数域上的n维向量空间 . n维向量空间 的基： 中任意n个线性无关 的正交基: 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 即 则有 解 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 6 标准正交基 例如 同理可知 （1）正交化，取 ， 7 求标准正交基的方法 （2）单位化，取 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例３ 解 再把它们单位化，取 例４ 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 证明 定义 定理 　　 为正交矩阵的充要条件是 的列向量都 是单位向量且两两正交． 即A的列向量组是两两正交的单位向量组。 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 注：该定理说明若n阶方阵A为正交阵，则A的列向量 组是 的一组标准正交基． 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 所以它是正交矩阵． 由于 正交矩阵的性质: 2.若A是正交矩阵，则 1.若A是正交矩阵，则 3.若A，B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。 4.若A是正交矩阵，则 也是正交矩阵。 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：