4-2随机变量的方差.ppt

返回 上页 下页 结束 §4.2 随机变量的方差 一. 方差的定义 二. 方差的计算 三. 方差的性质 引言 随机变量的数学期望是对随机变量取值水平 的综合 评价， 而随机变量取值的稳定性 是判断随机现象性质 的另一个十分重要的指标. 例如， 甲、乙两人同时向 结果都为平均7环， 其射击 试评价甲、乙的射击效果： 目标靶射击10发子弹， 射击 效果如右图. 乙的射击效果较好. 本节将引进另一个数字特征—方差， 用它来度量随机 变量取值在其均值附近的平均偏离程度. 定义1 一. 方差的定义 设X是一个随机变量, 记为 或记为 即 称 为X 的方差, 称 为X的均方差(或标准差). 方差刻画了随机变量 的取值与其数学期望的偏 离程度， 它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性. 从方差的定义易见： (1) 若 的取值比较集中， 则方差较小； (2) 若 的取值比较分散， 则方差较大； (3) 若方差 则随机变量 以概率1取 常用数值， 此时 也就不是随机变量了. 二.方差的计算 若 是离散型随机变量， 且其概率分布为 则 若 是连续型随机变量， 且其概率密度为 则 计算方差的一个简化公式 事实上， 例1. 设随机变量 具有 分布, 其分布律为 求 解 故 例2. 设 求 解 的分布律为 则 而 故方差 由此可知, 泊松分布的数学期望与方差相等, 于参数 因为泊松分布只含有一个参数 知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布 都等 只要 了. 例3 设 求 解 的概率密度为 而 故所求方差为 例4 设随机变量 的联合分布在以点 为顶点的三角形区域上服从均匀分 布, 试求随机变量 的期望与方差. 解 三角形区域 如图所 示, 的面积为 1/2, 所以 的联合概率密度为 所以 例5.求参数为 的指数分布方差. 解 参数为 于是 的指数分布的概率密度函数为 由此可知, 若随机变量X服从参数为 的指数分布, 则它的期望或方差能完全决定它的概率分布. 三. 方差的性质 1. 设 为常数， 则 2. 设 是随机变量， 若 为常数， 则 3. 设 是两个随机变量， 特别地， 若 相互独立， 则 则 例6 设 证明: 当 时, 达到最小值. 证 依题 两边对 求导数, 有 显然当 时, 又因 所以当 时, 达到最小值, 最小值为 例7 设 求 解 表示 重伯努利试验中“成功”的次数. 若设 如第 次试验成功 如第 次试验失败 则 是 次试验中“成功”的次数, 且 服从 分布. 故 由于 相互独立, 于是 例8 设 求 解 先求标准正态变量 的数学期望和 方差. 因为 的概率密度为 于是 因 即得 这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数 和 分别就是该分布的数学期望和均方差, 因而 正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定. 内容小结 1. 方差等于度量随机变量取值在其均值附近的平 均偏离程度. 它反映了随机变量取值的稳定性, 是判 断随机现象性质的另一个十分重要的数字特征. 方差的定义与计算 方差的性质 计算方差的一个简化公式: 若 相互独立, 2. 几种常用的概率分布 分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 0-1 分布 二项 分布 泊松 分布 作业 习题4 P80 2; 3; 6 P81 13 返回 上页 下页 结束