4§6 初等矩阵.ppt

上页 下页 返回 结束 §6 初等矩阵 定义10 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。 注 由定义可知，初等矩阵有以下三种情形： 1. 交换E的第i行与第j行，记为P(i, j)； 2. 用数域P中非零数c乘E的第i行，记为P(i(c))； 3. 把E的第j行的k倍加到第i行，记为P( i, j(k)). 即 注 同样可以得到与列变换相应的初等矩阵。 1. 交换E的第i列和第j列，即 显然，它与交换E的第i行和第j行，即P(i, j)相同. 2. 用数域P中非零数c乘E的第i列，即 显然，它与初等矩阵P(i(c))相同. 3. 把E的第j列的k倍加到第i列，即 显然它与初等矩阵P( j, i(k))或PT(i, j(k))相同. 综上所述，通过初等列变换得到的初等矩阵与 前面所列举的三类初等矩阵形式上是相同. 引理 对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s×s初等矩阵； 对一个s×n矩阵A作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n×n初等矩阵； 证明： （只证行变换的情形，列变换的情形可同样证明） 设A1, A2, …，As为A的行向量。即 即左边乘上P(i, j) 相当于交换 A的i行与j行； 则 (1) 即左边乘上P(i(c)) 相当于用数c乘 A的i行。 (2) 即左边乘上P(i, j (k)) 相当于把A的j行加到i行。 (3) 注 不难看出，初等矩阵都是可逆的， 它们的逆 矩阵还是初等矩阵. 事实上， 在解线性方程组时我们看到，用初等行变换可 以化简矩阵。 如果同时用行与列的初等变换，则矩 阵还可以进一步化简。 为了方便，我们引入 定义11 矩阵A与B称为等价的（或相抵），如果 B可以 经过一系列初等变换得到。 注 等价是矩阵间的一种关系。 不难证明，它具有： 1）反身性，即 A与自身等价； 2）对称性，即若 A与B等价，则B与A等价； 3）传递性，即若 A与B等价，B与C等价，则A 与C等价。 定理5 任意一个s×n矩阵 A都与一形式为 的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形， 主对角线上 1 的个数等于A的秩。 r个1 r = 秩(A) 证明： 若 A = O，则它已经是标准形了。 以下不妨设A≠ O。 经过初等变换，A一定可以变 成一左上角元素不为零的矩阵。 当a11≠0时，把其余的行减去第一行的 倍， 其余的列减去第一列的 倍。 然后用 乘第一行，A就变成 A1是一个(s－1)× (n－1)的矩阵。 对 A1再重复以上的 步骤。 这样继续下去就可得出所要的标准形。 显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上的 1的个数。 而初等矩阵不改变矩阵的秩，所以1的个 数也就是矩阵 A的秩。 注 用分块矩阵可写成，A的标准形为 例 用初等变换将下列矩阵化为标准形， 解 第2行＋第1行×(-1) 第3行＋第1行×(-2) 第4行＋第1行×(-2) 第2列＋第1列×(-1) 第3列＋第1行×(-3) 第4列＋第1行×(-1) 第4行＋第2行×(-1) 第3列＋第2列×(1 / 2) 第4列＋第2列×(- 2) 第2列×(1 / 2) 第4列×(1 / 5 ) 交换第3列,第4列 命题 矩阵 A，B等价的充分必要条件是有初等矩阵 使 证明：由引理与定义5立知。 对一矩阵作初等行变换相当于左乘一初等矩阵； 作初等列变换相当于右乘一初等矩阵。 定理6 n级矩阵A可逆 n级矩阵 A为可逆的充分必要条件是它能表成一 些初等矩阵的乘积 证明： A的秩为n A的标准形为En A与En等价 A能表成一些初等矩阵的乘积 推论1 两个s×n矩阵A，B等价的充分必要条件为，存 在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q使 A = PBQ。 上页 下页 返回 结束