4矩阵的初等变换.ppt

引例 求解线性方程组 一、消元法解线性方程组 ④ ① ② ③ 解 ④ ① ② ③ ① ② ③ ④ ① ② ③ ③ ① ① ④ ② ③ ④ ① ② ③ ③ ② ② ④ ② ④ ① ② ③ ③ ③ ④ 即 其中ｃ为任意常数. 总结 1、上述解方程组的方法称为高斯消元法． 2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程． 3、这三种变换均可逆. 4、方程组的变换可以看成矩阵的变换. 1、定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换. （1）互换两行： （2）数乘某行： （3）倍加某行： 二、矩阵的初等变换（Elementary Transformation） 定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换． 同理，把 换成 可定义矩阵的初等列变换. ERT ECT ET 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 定义 经过有限次初等变换变成矩阵 ， 如果矩阵 就称矩阵 ，记作 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系就称为等价． （1）反身性： （2）对称性： （3）传递性： 利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 定理 利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵化为标准形矩阵. 行阶梯形矩阵 称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵： 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部； 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. 如 称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵： 1）行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 2）各非零行的首非零元均为1. 3）首非零元所在列其它元素均为０. 如 标准形矩阵 称形如D 的矩阵为标准形矩阵： 例4 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形. 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用. 依次为行阶梯形和行最简形矩阵。 最后得到的矩阵 是 的标准形， 依次为 相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵. 三、初等矩阵的概念 定义 １、对调 就称为初等矩阵. 记作 ２、数乘 记作 ３、倍加 记作