5 格林公式及其应用.ppt

求原函数的公式 应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域? (2)函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 解 这里P?2xy? Q?x2? 选择从O(0? 0)到A(1? 0)再到B(1? 1)的折线作为积分路线? 物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? 解 ： 这里 例6 验证 2xydx?x2dy在整个xOy平面内是某一函数u(x? y)的 全微分? 并求这样的一个u(x? y). 所以P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某个定义在整个xOy面内的 函数u(x? y)的全微分 例7. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 小结 备用题 1. 设 C 为沿 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 * 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 §6.4.3 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域 单连通区域 复连通区域 设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域? 边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有 其中L是D的取正向的边界曲线? ——格林公式 应注意的问题: 对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? 例1. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围区域为D , 则 原式 圆周 提示? 解 (1) 当(0? 0)?D时? 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D? 当x2?y2?0时? 有 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 在D内取一圆周l? x2?y2?r2(r0)? (2) 当(0? 0)?D时? 解 记L所围成的闭区域为D? 记L及l所围成的复连通区域为D1? 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向? 于是 不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 提示? 格林公式的应用: 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L? 则 在格林公式中? 令P??y? Q?x? 则有 例3 求椭圆x?acosq? y?bsinq 所围成图形的面积A? 解 设L是由椭圆曲线? 则 提示: 因此, 由格林公式有 用格林公式计算二重积分 解 为顶点的三角形闭区域? 因此, 由格林公式有 解 为顶点的三角形闭区域? 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶 连续偏导数? 与路径无关? 否则说与路径有关? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2? 等式 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 这是因为? 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线? 则L1?(L2-)是G内一条任意的闭曲线? 而且有 定理