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5-7-常系数线性微分方程组
《微积分A 》习题解答
习题5.7(P320)
求下列方程组的通解.
⎧dx
⎪ x +y
dt
1．⎨
⎪dy
x −y
⎩dt
⎧dx
⎪ x +y (1) dx
dt
解：⎨ 由方程(1) 得 y − x (3)
⎪dy dt
x −y (2)
⎩dt
dy d x 2 dx
(3) 式两端对t 求导得 − 2 (4)
dt dt dt
d x 2
将 、 式代入 式整理得
(3) (4) (2) 2 0=− (5) x
dt 2
(5) 式是二阶常系数线性齐次微分方程，其特征根为r ± 2
1, 2
x C e C e + 2 t − 2 t (6)
故其通解为 1 2
将 式代入 式得 2 t − 2 t
y(6)(C −2 1()3) −e (C +2 1) e
1 2
t − t
⎧ 2 2
x C e C e
⎪ + 1 2
因而方程的通解为⎨
⎪ 2 t − 2 t
y (C 2 1) e (C 2 1) e
− − +
⎩ 1 2
⎧dx dy
=+ − + + x y 3
⎪dt dt
2 ．⎨
⎪dx dy
=− + − x y 3
⎩dt dt
⎧dx dy
=+ − + + x 3y (1)
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