5-4.0正定二次型.ppt

* * 一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 §5.4 正定二次型 则称f 为正定二次型. 是正定的； 如，二次型　 一组不全为零的实数 都有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1、定义：实二次型 若对任意 、正定二次型 不是正定的. 二次型 2、正定性的判定 引理1 设实二次型 f 正定当且仅当 证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取 则 经过非退化线性替换 X＝CY 化成 则， 引理2 非退化线性替换不改变二次型的正定性. 任取一组不全为零的数 令 证明：设正定二次型 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性. 又由于C可逆， ，所以 同理，若 正定，则 正定. 反之，实二次型 可经过非退化 不全为0. 即 线性替换 变到实二次型 定理1 n元实二次型 正定 证：设 经非退化线性替换 变成标准形 由引理1), 即， 的正惯性指数p＝n 充分必要条件是它的正惯性指数等于n. 正定 规范形为 推论 正定二次型　　　　　　 的标准形为 二、正定矩阵 1、定义 设A为实对称矩阵，若二次型 是正定的，则称A为正定矩阵. 因为正定二次型的规范形的矩阵为单位矩阵， 2、正定矩阵的判定 推论1 实对称矩阵A正定 定理2 实对称矩阵A正定 ??A与单位矩阵E合同. （A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 ） 存在可逆矩阵C，使 所以有： 推论2 实对称矩阵A正定 A与正对角矩阵合同. 3、正定矩阵的必要条件 1）实对称矩阵 正定 取 正定. 证：若A正定 ，则二次型 则 反之不然. 即，　　 　为对称矩阵，且 但A未必正定.　如 所以A不是正定的.　　　　　　　 注意 当　　　　　时，有　　　　　　　　 2) 实对称矩阵A正定 但 不是正定二次型. 如 注意 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使　　　　　　　 从而 反之不然. 即实对称矩阵A，且 A未必正定.　 例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明 （5）若　B　亦是正定矩阵，则　A＋B　也是正定矩阵； （2）　　　　是正定矩阵； （1） 是正定矩阵； （3）　是正定矩阵； （4） 是正定矩阵（m为任意整数）； 证： （1）由于　A　正定，则存在可逆矩阵　P，使 于是有， 　故， 正定. 令 即， 与单位矩阵E合同. 则Q可逆， 法2 由于A正定， 　故， 正定. 且 则 ，由（1）（2）即得　 正定. （3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 ，于是 当 m＝2k　时， 即，　与单位矩阵E合同，所以　 正定. （4）由于　A　正定，知 　为 n 阶可逆对称矩阵　， （2）由于A　正定，对　　　　　　　 都有 因此有 故，　正定. （5）由于A、B正定，对　　　　　　　 都有 因此有 故，A＋B 正定. 当 m＝2k＋1　时， 即，　与正定矩阵A合同，而　A与单位矩阵E合同， 所以　 与E合同，即　 正定. 4、顺序主子式、主子式 、 设矩阵 称为A的第k阶顺序主子式. 2） k 级行列式 即行指标与列指标相同的k阶子式 称为A的一个k 阶主子式. 定理3 A的顺序主子式 Pk 全大于零. 正定　 实二次型 证:必要性.设 正定，对每一个k 令 是正定的，从而 正定. 对任意一不全为零的数　 有 充分性： 对n作数学归纳法. n＝1时， 　 正定. 结论成立. 假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形. 又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式 由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使 令 则 也全大于零. 设 则 令 再令 则 由判定充要条件3). 知A正定，所以 正定. 再令 则有 两边取行列式，得 又　 0 ， 　 即 　为正对角矩阵. 例2、判定下面二次型是否正定. 其顺序主子式 正定. 解： 的矩阵 解： 　的矩阵 A的第k阶顺序主子式Pk （习题7） 正定. 例3、证明：若实对称矩阵A正定 ，则A的任意一