5.2-标准形-2.ppt

§5.2 标准形 * 一、二次型的标准形 配方法 二、合同变换法化标准形 §5.2 标准形 */29 二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 ? */29 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立. 一、二次型的标准形 可经过非退化线性替换化成平方和的形式.　 1、（定理1）数域P上任意一个二次型都 n=1时， 结论成立. 下面考虑n元二次型 */29 1) aii (i=1,2,…,n)中至少有一个不为零,不妨设 a11≠0 */29 这里， 是一个. 的n－1元二次型. */29 它是非退化的， 且使 */29 使它变成平方和 于是，非退化线性替换 由归纳假设，对 有非退化线性替换 */29 就使 变成 2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换： */29 不为零. 由情形1）知，结论成立. 则 这是一个 的二次型，且 的系数 */29 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式. 即 3） 由对称性， 配方法 */29 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 二次型 经过非退化线性替换 的一个标准形. 称为 */29 例1. 用配方法化下列二次型为标准形，并求所用 的非退化线性替换. 解: 先将含 的项配方,有 再对后面含有 的项配方，有 */29 令 即作非退化线性替换为 将原二次型化为标准形 */29 则 解：作非退化线性替换 例2. 求 的标准形. */29 或 最后令 则 或 再令 */29 所作的非退化线性替换是 即 则 */29 3、数域P上任意一个对称矩阵合同于 证：对A的级数作归纳法. （略）P 215 使C′AC为对角矩阵． 即　　　　 若 A′＝A ，则存在可逆矩阵 一个对角矩阵. 定理2 */29 作业 P232 1（1）（3） 要求：用配方法化二次型为标准型 */29 ??的k倍加到第 列( ). 二、合同变换法化二次型为标准形 （1） 互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列; 1. 定义：合同变换是指下列三种变换 （2） 以数 k（ ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘 （3） 将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列 矩阵的第 i 列. */29 2. 合同变换法化二次型为标准形 ????????? 又， 设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 C, 使D=C′A C. 若 为初等矩阵，则 对单位矩阵施于一种初等行（列）变换后得到的初等 矩阵的转置相当于直接对单位矩阵施于同一种初等列 （行）变换 */29 对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C 满足 就相当于对A作s次合同变换化为D. 所以，用合同变换化矩阵A为对角阵D的同时， 又注意到 所以， */29 基本步骤： ② 对A作合同变换化为对角矩阵D 对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C ③ 作非退化线性替换X=CY，则 即 ① 写出二次型 的矩阵A 为标准形. D为对角阵,且 */29 注意： i）若a11≠0，作合同变换：将A的第一行的 倍 加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到 第 j 列, j=2,3,….n 则 合同变换化对称矩阵 为对角阵D时 */29 ii) 若a11=0，而有某个aii ≠0，作合同变换： 互换1, i 两行，再互换1, i 两列，所得矩阵的第1行 第1列处元素为aii ≠0，转为情形i)，即 */29 iii) 若aii=0, i=1,2,…n.则必有某个aij≠0(i ≠j)，作合同变换： iv) 对 i）中A1重复上述做法. 将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij ≠0. 转为情形ii). */29 例3　用合同变换求下面二次型的标准形 （同例2） 解： 的矩阵为 r1+r2 c1+c2 */29 r3+r1 r2－　r1 c3+c1 c2－　c1 －2r2 －2c2 c3+2c2 r3+2