5.7 正定二次型(同济大学第五版).pdf

第五章 二次型 第七节 正定二次型 一、正(负)定二次型的概念 二、正定矩阵的判别 二、顺序主子式 一、正( 负)定二次型的概念 一、正( 负)定二次型的概念 1. 定义 具有实对称矩阵 A 的 n 元二次型为f x TAx x   1   x 2   1) 若对于任意的非零向量 x ＝    x n   x T Ax 0 （或0 ） 成立，称二次型为正定（负定）二次型， A 为正定（负定）矩阵. T x 2) 如果对于任意非零向量 ，都有 (或 )成立， x Ax 0 0 x 并且存在某向量 , 使得 0 x T Ax 0 0 0 f x TAx 则称 为半正定(半负定)二次型， 矩阵 A 为半正定（半负定）矩阵. T x x Ax 0 x 3 ）若对某向量 ，有 ，而对另一向量 ，有 1 1 1 2 T T x Ax 0 f x Ax 2 2 ，则称 为不定二次型， 矩阵 A 为不定矩阵. 二次型的正定判定可以转化为其对称矩阵的正定型判定.   2 2 2 例如 (1)f x , x , x x 4x 6x 为正定二次型 1 2 3 1 2 3 1