5.5.2二阶常系数非齐次线性方程.ppt

微分方程 三、小结 * 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f(x)常见类型 下面我们讨论特解会具有什么样的表达式. 由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数,而方程的右端正好是这种形式的函数.因此我们可以推断出方程(1)的特解应该也是指数函数与多项式之积.故设 接着我们可以推导出Q(x)应该是几次多项式. 将 代入原方程(1)中,整理得 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 3.由非齐次方程解的结构定理知其通解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 为原方程通解 例1 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程, 得 例2 为原方程通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程, 得 例3 为原方程通解 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程. 3.由非齐次方程解的结构定理知其通解为 解 对应齐次方程的通解 例4 所求非齐方程特解为 原方程通解为 解 对应齐方通解 代入原方程 例5 所求非齐方程特解为 原方程通解为 由解的叠加原理知 练习 因此,原方程的通解为 定理5.5.1 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例6 所求非齐次方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 解 对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例7 (待定系数法) 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式. 思考题解答 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 练 习 题 练习题答案