5维幂零李代数的导子代数的结构.pdf

第 28卷 第 5期 大 学 数 学 V0I_28，№ ．5 2012牟 10月 CoLLEGE MATHEMATICS Oct．2012 5维幂零李代数的导子代数的结构 巫永萍 (龙岩学院数学与计算机科学学院，福建 龙岩 364012) [摘 要]对维数为 5的所有幂零李代数 的导子代数进行 了研究，按照其分类分别给出了9种互不 同构 的导子代数 的结构． [关键词]幂零李代数；导子；导子代数 [中图分类号]O152．5 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2012)05—0076—04 幂零李代数是一类重要的李代数，而导子代数是李代数的一个重要结构 ，它在李代数 的结构理论的 研究中占有重要地位 ，也是李代数在微分几何，理论物理等其它领域应用 的重要工具．因此 ，研究幂零 李代数的导子代数的结构是非常有意义的．文献[1]给 出了特征不等于 2的域上维数小于等于 6的幂 零李代数的所有分类，文献[2]对维数小于等于 4的所有幂零李代数的导子代数的结构作 了研究，本文 在此基础上进一步讨论 了维数为 5的情形 ，给出了 9种互不 同构的幂零李代数的导子代数的结构． 1 基本概念 设 L是域F上的有限维李代数，则有如下理想列 ： L 一L，L 一[L，L]，…，L 一[L，L]，… ． 定义 1[3] 李代数 L称为幂零的，如果存在正整数 ”，使得 L”=0． 定义 2E3_ 设 D是L上的线性变换 ，如果 D满足 D[x，]一[Dx，]+[，Dy]， V ，Y∈L， 则称 D是L的一个导子．L的所有导子的集合记为Der(L)，则 Der(L)是一般线性李代数gl(L)的子 代数，称为 L的导子代数． 2 主要结果 以下讨论均假设 F是特征为 0的代数闭域． 引理3Ⅲ 设L是域F上维数等于 5的幂零李代数，z ，z ，z。，z ，z 是 L的一组基 ，则在同构意 义下 ，有如下 9类 ： L5，l：[ ，z，]：==0， L5，2：[zl，zz]=z3， L5．3：[zl，z2]一z3，[1，z3]一 4， L5，4：IX1，2]一 5，[z3，4]===z5， L5，s：[1，2]一z3，IX1，z3]一-z5，IX2，z4]一z5， L5，6：IXl，z2]一 3，[1，3]一z4，IX1，z4]一 5，[z2，3]一z5， L5．7：IX1，2]一 3，[1，z3]一z4，[l，z4]一z5， Ls8 ： ， [1，2]一z4，IX1，lz3]一z5， L59 ： ， -[921，2]一z3，[-5121，z3]一z4，[z2，z3]一 5． [收稿 日期]2010—09—15 第 5期 巫永萍：5维幂零李代数 的导子代数的结构 77 设 L是域 F上 的 维李代数 ，z ，z ，… ，z 是L的一组基 ，D是L的导子．设 D(x)一∑口z (_a∈F，J一1，2，…，)， i= 1 写成矩阵形式 ，有 0 l2 n22