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6.3 Urysohn引理
§6．3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 * * 本节重点: 掌握Urysohn引理的内容(必要性的证明不要求) 1.定理6.3.1 [Urysohn引理] 设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f: X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b． 定理6.3.1 设X是一个拓扑空间．则X是一个正规空间 并且易见 . 这证明X是一个正规空间. 必要性(略) 证明:由于闭区间同胚于[0，1]，所以只要对[0，1] 证明这个定理. 充分性：设A，B是X中的两个无交的闭集f: X→[0,1] 是一个连续映射,使得当x∈A时有f(x)=0和当x∈B时 有f(x)=1. 由于集合[0,1/2)和(1/2,1]是[0,1]中两个无交的开集, 所以 是X中的两个无交的开集,
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