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第6 章 约束力学系统Lie 对称性理论研究进展 1979 年Lutzky[1]将Lie理论应用于力学系统的运动微分方程, 开始研究力学系统的Lie 对称性与守恒量. Lie对称性是一种高级算法, 为找到Lie对称性, 需解复杂的确定方程, 再 建立结构方程并求规范函数, 最后由生成元和规范函数找到相应的守恒量. 这种由Lie对称 性求守恒量的问题称为Lie对称性正问题. 反之, 由守恒量找到相应Lie对称性问题称为Lie 对称性逆问题. 与Noether理论研究思路不同的是, Lie对称性是直接研究运动微分方程在群的无限小 变换下的不变性. Olver[2]、Bluman[3]和Ibragimov[4]等的著作对Lie群在微分方程中的应用从 数学方面做了详细的论述. 同时对不变量和对称性也作了讨论. 1979 年, Lutzky[1]研究了 Lagrange力学系统微分方程的广义Lie对称性(即无限小对称变换的生成元不仅包含时间和 广义坐标, 而且包含广义速度), 并得到了Noether型守恒量. 后来人们尝试利用Lutzky方法 研究一些较为复杂的系统, 例如，1990 年, Sen和Tabor[5]利用Lutzky方法研究了非线性科学 中的Lorenz模型(它的控制方程为三个一阶常微分方程), 给出了它的一些Lie对称性和相应 的不变量；Barbara则在文献[6]中利用Lutzky方法研究了非线性科学中另外一个重要的例 子：Hénon-Heiles模型(它的控制方程为两个二阶常微分方程), 给出其Lie对称性和相应的不 变量, 这些结果对于认识混沌的内在性质或许会有帮助. 1991 年, Shivamoggi[7]利用Lutzky 方法研究了含时线性谐振子的Lie对称性和相应的不变量. 可见, Lie对称性方法在解决有 些具体问题时显现出它的特有的优点. 我国关于动力学系统的Lie对称性与守恒量的研究起始于20 世纪90 年代初, 1993 年赵 跃宇和梅凤翔在文献[8]中率先研究约束力学系统Lie对称性与守恒量, 1994 年赵跃宇讨论 了非保守系统的Lie对称性和守恒量[9]. 特别是1999 年梅凤翔的专著《李群和李代数对约束 [10] 出版后, 引发了我国分析力学界对于Lie对称性研究的兴趣, 成为我国 力学系统的应用》 力学领域的热门课题. 在梅凤翔教授的带动下, 我国学者在各类约束力学系统Lie对称性与 [11-33] [34-51] 守恒量 , 相对论和转动相对论力学系统的Lie对称性与守恒量 、广义力学系统的 Lie对称性与守恒量[52-55]、单面约束力学系统Lie对称性与守恒量[56-65]、Lie对称性与绝热不 [66,67] [68-90] 变量 、Lie对称性与Noether 守恒量、Lutzky守恒量与Mei守恒量 , Noether对称性与 Lie对称性和Mei对称性的关系[91-110]等方面进行了系统的研究, 取得了一系列有意义的新 结果, 受到学术界的关注. 本章主要综述我国在约束力学系统的Lie 对称性与守恒量研究方面的必威体育精装版进展, 包括： Lagrange 系统的Lie 对称性与守恒量、Hamilton 系统的Lie 对称性与守恒量、准坐标下一 般完整系统的Lie 对称性与守恒量、事件空间中的Lie 对称性与守恒量、非完整约束系统 ·330· 约束系统动力学研究进展 的Lie 对称性与守恒量、高阶非完整系统的Lie 对称性与守恒量、Vacco 动力学系统的Lie 对称性与守恒量、奇异动力学系统的Lie 对称性与守恒量、约束力学系统的Lie 对称