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第一章 概 述 第一节 数学是什么 一、数学的“定义” 恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。 但是，要给数学下个定义，并不那么容易。至今难以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。 1．古今数学家的说法 （美）R·柯朗（《数学是什么》）：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。” （法）E·波莱尔： “数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。” （英）罗素：“数学是所有形如p蕴含q的命题的类”， 而最前面的命题p是否对，却无法判断。 因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。” 2．数学的15个“定义” 1）哲学说 2）符号说　 3）科学说　 4）工具说　 5）逻辑说　 6）创新说　 7）直觉说 8）集合说 9）结构说（关系说） 10）模型说 11）活动说 12）精神说 13）审美说 14）艺术说　 15）万物皆数说　 15个“定义” 来自 只 讲解“哲学说”，其他只作一句话的解释，并请查资料。   哲学说 亚里士多德：“新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。” 来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。 《几何原本》：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度 牛顿在《自然哲学之数学原理》的序言中说，他是把这本书“作为哲学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。 哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛 的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研 究对象不同，研究方法也不同。 两者虽有相似之处， 但数学不是哲学的一部分， 哲学也不是数学的一部 分。 现在有人说“哲学从一门学科中退出， 意味着这 门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门 学科的成熟。” 符号说：是说数学是一种高级语言，是符号的世界。 科学说：是说数学是精密的科学，“数学是科学的皇后”。 工具说：是说“数学是其它所有知识工具的源泉”。 逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，“数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。” 创新说：是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。 直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。 集合说：是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。 结构说（关系说）：是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，“数学是一种关系学”。 模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。 活动说：是说“数学是人类最重要的活动之一”。 精神说：是说“数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。” 审美说：是说“数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。” 艺术说：是说“数学是一门艺术。” 万物皆数说：是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。 方延明：数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的结构的一门科学。 徐利治：数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性的量与空间形式的科学”。 回到恩格斯的定义： 数学是研究（现实世界中的）数量关系与空间形式的一门科学。 [思]： 请你在学习“数学文化”课的过程中，始终带着下面的问题——在学完“数学文化”课后，给出一个你自己对“数学”的定义。 二、数学的特点 抽象性 精确性 应用的广泛性 2．精确性 数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。 汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。”