数值分析实验一：误差分析、误差传播与算法稳定性.doc

毕节学院实验报告 实验名称： 误差分析、误差传播及算法稳定性 实验报告序号： 1 组 别 姓 名 王朝春 同组实验者 李亚 杨凯 实验项目 计算并估计误差 实验日期 2012年10月5日 实验类别 eq \o\ac(□,√) 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验 □ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验； 教师评语 实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日 实验目的： 通过本实验对求解问题的算法进行好坏判断有一个初步了解，并加强对设计一个好算法的理解，体验数值计算稳定性，从而了解数值计算方法的必要性，体会数值计算的收敛性与收敛速度。 实验任务与要求： 计算并估计误差 （1）建立若干个（不少于两个）计算公式； （2）分析计算公式的理论误差； （3）编写程序（推荐MATLAB）实现（1）中的计算公式、输出结果并比较实际误差； （4）任选正整数，要求既从计算，又从计算，并分析您的结果。这里且。 小组分工合作说明：王朝春查找资料；李亚负责编辑，杨凯协助完成。 实验过程及内容： 解： 由分部积分可得计算的递推公式 （1） 若计算出，代入（1）式，可逐次求出 的值。要算出就要先算出，若用泰勒多项式展开部分和 并取k=19,用4位小数计算，则得，截断误差.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为时，用（1）式递推的计算公式为 ，n=1,2，…。 计算结果见表1的列。用近似产生的误差就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的. 从表1中看到出现负值，这与一切相矛盾。实际上，由积分估值得 （2） 因此，当n较大时，用近似显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值有误差，由此引起以后各步计算的误差满足关系 由此容易推得 ， 这说明有误差，则就是的n!倍误差。例如，n=19，若，则。这就说明完全不能近似了。它表明计算公式（A）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=19,得 ， 我们粗略取，然后将公式（1）倒过来算，即由算出，，…，，公式为 计算结果见表1的列。我们发现与的误差不超过。记，则，比缩小了n!倍，因此，尽管较大，但由于误差逐步缩小，故可用近似。反之，当用方案（A）计算时，尽管初值相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。 程序如下： function x11 = facto(n) %这个函数的功能是求 n 的阶乘； x11 = 1; if n == 0 x11 = 1; else for i = 1:n x11 = x11*i; end end function e_1 = telor(k) %这个函数的功能是求e^(-1);用泰勒多项式展开式进行计算的， % k是代表展开到第 k+1 项 e_1 = 1; if k == 1 e_1 = 1; else for i=1:k e_1 = e_1 +(-1)^i/facto(i); end end function jifen(m) I0=1-telor(19); %第一种算法 I(1)=I0; for i = 1:m I1 = 1 - i*I0; I(i+1)=I1; I0=I1; end %第二种算法 Im=(1/2)*(1/(m+1)+telor(19)/(m+1)); B(1)=Im; for i=1:m In=(1/(m+1-i))*(1-Im); B(i+1)=In; Im=In; end disp( n 第 1 种 算 法 第 2 种 算 法 ); for i = 0:(length(B)-1) fprintf(%4d %33.4f %12.4f |\n,i,I(i+1),B(m+1-i)); end 在Matlab命令窗口输入如下命令即可得到如表1的结果。 jifen(19) 表1 计算结果 n 第1种算法 第2种算法 0 0.6321 0.6321 1 0.3679 0.3679 2 0.2642 0.2642 3 0.2073 0.2073 4 0.1709 0.1709 5 0.1455 0.1455 6 0.1268 0.1268 7 0.1124 0.1124 8 0.1009 0.1009 9 0.0916 0.0916 10 0.08