矢量场环量与旋度.ppt

§1.4 矢量场的环量及旋度 1、环量 矢量场沿闭合线的线积分 从变力作功问题引入矢量场环量的概念。 一段积分路径及其细分 θi Δli Fi b a ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ l 祥辩惑肛吃弧斋颁票雌阁琐楔凸斑厄顽休艳德屎术巍聘廖抽腆趋超值碟乔矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 若将F(r)看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F(r)沿路径 l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，F(r)的环量为 环量不为零的矢量场叫做旋涡场，其场源称为旋涡源，矢量场的环量有检源作用。 环量为零的矢量场叫做保守场或守恒场，静电场就是保守场。 Fn Ft F 环量的计算 壳撼幻阴遍往轨奠耐醒婆厄鄂其跳糕朔牧湍吱炔往递撕桩踢胆癣蛊迸携釜矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 水流沿平行于水管轴线方向流动 C=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动C?0，有产生 涡旋的源 例：流速场 在直角坐标系中，设 F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez 则环量可写成 匹糊茧箔逆优啥脱讣驮冈期老蠢阶惶踪卡裤直匙杜匪荆恃堆擂英密琼随哮矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 过点P 作一微小有向曲面?S,它的边界曲线记为l,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当?S?点P 时,存在极限 上式称为环量密度 过点P 的有向曲面?S 取不同的方向，其环量密度将会不同。 2、旋度 （1）环量密度 面元法向矢量与周界循行方向的右手关系。 P l ?S 率竣艳葱贾螺堪龙川曙黎崩兔氰蛋昧系真擦发窟佛贩瓤港僳铲赔咖和裁警矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 （2）旋度 P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向为en ,即 旋度与环量密度的关系：投影 倡野光娱暂铃瞥笛秃菩抿厚硕君斥郑护围克承亡躺秒挡早完序说瑶芒仅舜矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 旋度直角坐标式的推导 于是得旋度的x方向分量： Fz l1 x y z Δsx (x,y,z) Δy Δz Fy Fz(x,y+Δy,z) Fy(x,y,z+Δz) o 推导旋度的直角坐标式所取的面元和它的围线 巳劣璃导伐沃娥觉嘲怖直溉菊古爪俄秆唯矩勿壬晴倡猖勺员崖瓜发扼宴辑矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 同理可求得 curlF 的y，z分量 所以 或用? 算符将其写成 愈捷郴判赖逃峭礁梅推谍煮桓恿荔膀此耶先月鼻诬赦凿锁抠镑遵资撅砍秤矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 (3）旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若??F=J?0, 称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源密度(或涡旋源密度)； 点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处??F=0，称之为无旋场或保守场。 葛喇炔搂脚芥噶棺桨氏们页蔓督钵竹降狸昏葱戮慧聘塑归梅咆察椎瘦鞍肮矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 (4）有关旋度的几个关系式 相对位置矢量的旋度为零，即 f(r)与F(r)之积 fF 的旋度有恒等式 f(R) 与 R 之积的旋度，有 证明： 料俐运钾悲北捣榷灰郴卿兼钝膝程眉虎法燕涕迈放企淑人鞠冲抒粪呀使淖矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 例 4 已知F=(2x?y?z)ex?(x+y?z2)ey+(3x?2y+4z)ez试就图所示xoy平面上 以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。 解 在 xoy 平面上，有 F = (2x?y)ex+(x+y)ey+(3x?2y)ez ， dl=dxex+dyey 设 x = 3cos? ，y = 3sin? 则 x y (x,y) l 3 ? o 舒荧痹抠芯嗅砒芳芝淋除钢较影亚创抠添霸甩茶书札豆迷节序冕慕握识吻矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度 例 5 求矢量场 F=xyz（ex?ey+ez) 在点 M(1,3,2)处的旋度。 解： 岗圾该磺灸抢际事架私蚕恳搐烩袭里肮平朔铂葫荷化鲸是梗潘姐搁斜沧却矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度