13 在整除性问题之应用.ppt

1.3 在整除性問題之應用 附加例題 3 1.3 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數 n，an ? bn 能被 a ? b 整除。 解 設 S(n) 為以下的命題： “ an ? bn 能被 a ? b 整除”， 又設 ? (n) = an ? bn。 當 n = 1 時， ? (1) = a ? b 解 ? am + bk 為一整數。 ? 文達出版 (香港 )有限公司 ? 文達出版 (香港 )有限公司 解 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數n，an ? bn 能被 a ? b 整除。 ? ? (1) 能被 a ? b 整除，也就是 S(1) 是正確的。 假設對於正整數 k，S(k) 是正確的， 即 ? (k) 能被 a ? b 整除，也就是存在一個正整數 m，使得： ? (k) = ak ? bk = m(a ? b) 附加例題 3 利用數學歸納法，證明對所有正整數n，an ? bn 能被 a ? b 整除。 當 n = k + 1 時，我們有 ? (k + 1) = ak+1 ? bk+1 = a ? ak ? b ? bk = a(ak ? bk) + a ? bk ? b ? bk = am(a ? b) + bk(a ? b) = (a ? b)(am + bk) 根據數學歸納法的原理，對所有正整數 n，S(n) 是正確的。 m 和 k 皆為整數， ? ? (k + 1) 能被 a ? b 整除，也就是 S(k + 1) 是正確的。