叫做归纳推理.ppt

* * 如图2－1－2所示，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图①所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图②所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图③和④所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝． 【解析】　法一　5件首饰的珠宝颗数依次为1，6＝2×3，15＝3×5，28＝4×7，45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n－1)＝2n2－n. 法二　5件首饰的珠宝颗数依次为：1，1＋5，1＋5＋9，1＋5＋9＋13，1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n. 【答案】　66　2n2－n 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想． 【思路探究】　考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取3个面两两垂直的四面体，平面内边与边的长度关系，类比到空间中面与面的面积关系，即可求解． 【自主解答】　如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2； 与Rt△ABC相对应的是四面体P－DEF如图(2)；与Rt△ABC的两条边交成1个直角相对应的是四面体P－DEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与Rt△ABC的直角边边长a、b相对应的是四面体P－DEF的面△DEF、△PDF和△DPE的面积S1，S2和S3；与Rt△ABC的斜边边长c相对应的是四面体P－DEF的面△PEF的面积S. 由此我们可以类比Rt△ABC中的勾股定理，猜想出四面体P－DEF四个面的面积之间的关系． 我们知道，在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2. 平面图形与空间几何体之间的常见类比有： 平面图形 空间几何体 二维平面 三维空间 线 面 线段的长度 相应面的面积 面积 相应几何体的体积 两线的夹角 两平面的二面角 线线垂直 面面垂直 线线平行 面面平行 三角形 四面体 圆 球 如图2－1－3所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． 【解】　如图所示，在四面体P－ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表示形式应为 S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ. 数形结合思想在合情推理中的应用 　(12分)如图2－1－4所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135°角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度． (1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4； (2)求第n层树形图的高度Hn. 【思路点拨】　求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想． 1．(2014·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2－1－5所示： 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为(　　) A．6n－2　　　　　　 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 【解析】　a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2. 【答案】　C 2．在平面上， 若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 【答案】　C 3．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此规律，第n个等式为________． 【解析】　观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 【答案】　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 4．有以下三个不等式： (12＋42)(92＋52)≥(1