热统2012-6关于Boltzmann统计的一些解释.ppt

2、最概然分布的概率接近1 实例：设N=2n个粒子处于一个体积V中，等体积地将V划分成2个Δμ1,2，则最概然分布(平衡态)应该是2n均匀分布在2个Δμ1,2中(n1=n2=n),相应的微观状态数为W*=(2n)!/n!n!。 设在最概然分布附近有一个分布n1=n-Δn，n2=n+Δn，相应的微观状态数为W=(2n)!/(n-Δn)!(n+Δn)!。 比较两种状态的微观态数 取对数 利用斯特林公式 如果Δn/n数更大时,上述数值就更小了，这说明当N→∞时,最概然分布可以代表真实分布,从而体系总的微观状态数完全可以用最概然分布所拥有的微观状态数取而代之 取Δn/n=0.1%，对于1mol的分子体系，n=6.022×1023，即得 这是一个极其微小的数值 3、为什么要考虑体积 系统微观状态在相宇中的代表点占有体元 现在有Nj 个粒子代表点处在子相宇同一体元 内,因此 宏观状态的每一个微观组态对应于相空间的一个体元，不同的微观组态对应的相空间体元大小相等，但在相空间的不同位置。宏观状态对应的微观组态数为W，这个宏观状态总的对应于相宇体积 换一个角度 在Δμj中的不同位置,代表点表示不同的微观态 如果认为在Δμj中每个单位体积内的代表点是不同的微观态,则每个粒子有Δμj个不同的位置 Nj个粒子中,第一个粒子有Δμj个不同的位置可以放,由于每个位置上能够放多少并没有限制,因此第二个粒子还有Δμj个不同的位置可以放, Nj个粒子共有(Δμj)Nj个不同的位置可以放,因此每一种组态对应着很多种不同的微观态 4、系统是如何变成最概然态 从非最概然宏观分布变成最概然宏观分布的途径,无法从等概率原理和最概然分布原理得到 实际的变化一定是通过粒子间的相互作用完成的,在相互作用的过程中高能量的粒子将能量传给低能量的粒子,最终获得一个总能量恒定的稳定状态 如果Δn/n数更大时,上述数值就更小了，这说明当N→∞时,最概然分布可以代表真实分布,从而体系总的微观状态数完全可以用最概然分布所拥有的微观状态数取而代之 取Δn/n=0.1%，对于1mol的分子体系，n=6.022×1023，即得 这是一个极其微小的数值 5、系统完全没有变化吗？ 这说明当N不大时,偏离最概然分布的宏观态也有实际出现的可能，最概然分布附近的涨落是实际存在的 取Δn/n=0.1%，取n=106，即得 这就不是一个微小的数值了！ 小粒子数体系呢？ 回忆：分子散射 纯净的气体和液体介质自身分子的热运动引起的密度涨落产生的散射称为分子散射 以0.69μm作为光波波长λ的典型值，标准状况下，在以λ/2为边长的立方体内的气体分子数为0.726×106，由式可得密度相对涨落约为0.12%，这样的密度涨落足以引起折射率的显著变化 6、如何理解：物理量的相对涨落与粒子数平方根 成反比 能量、温度、粒子数、体积、密度等物理量都是粒子分布的平均值,既然粒子分布存在相对涨落,那么这些物理量也存在相对涨落。 大量粒子中,每一小部分都在不断涨落,但这些小体积的涨落有正有负,相互抵消,结果是总体积的涨落相对就很小 MB分布是一种统计规律 在一定的宏观条件下系统还可能处于不同的宏观状态。因此,原则上说,平衡态时,系统也可能处于别的分布。只是MB分布及其近邻的其他分布所占的概率压倒多数地大,别的分布出现的概率可忽略,以致事实上我们只能观察到MB分布或物理上无法与之分辨的其他近邻分布。 热学p.52 系统可以处于不同的宏观状态 从另一个角度看,MB分布给出了平衡态时能量为εj的粒子数,除以总粒子数就得到平衡态时粒子能量为εj的概率。 即使系统处于平衡态，某一瞬时考虑不同粒子的能量可发现不同的取值 平衡态时能量取εj的概率 可以认为,对同一粒子进行的宏观上看来相隔时间很短的两次观察结果是独立的。因此,同一粒子在不同时刻的行为相当于在同一时刻不同粒子的行为,它们满足相同的统计规律。所以,MB分布也给出了平衡态时同一粒子在不同时刻取某个能量值的概率。 同一粒子在不同时刻的行为相当于在同一时刻不同粒子的行为，它们满足相同的统计规律 粒子的状态是不断变化的 热力学量的统计表达式物理量的涨落Boltzmann统计理解 一、热力学量的统计表达式 由此导出一般的热力学量统计表达式, 内能的统计表达式 内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 已知 得 引入配分函数 有 得 另一表达式 外界对系统的作用引起内能的变化 外参量(例如V)变化时,系统的能量将发生变化,系统在变化过程中可以通过功和热量与外界交换能量 如果过程是准静态的,δW可以写成Ydy形式 dy是外参量的改变量 Y是与外参量y相应的外界对系统的广义作用力 最典型的形式是外界做功-pdV,Y?p,y?-V