知识点166 两点间的距离公式(解答).doc

1、已知两点P1（﹣2，3），P2（4，﹣5），求P1、P2两点的距离． 考点：两点间的距离公式。 分析：求两点的长度的问题可以转化为解直角三角形的问题．此题能顺利求出P1P2的长的关键是过P1、P2两点分别作x轴、y轴的垂线，构造出Rt△P1AP2，然后利用勾股定理求解． 解答：解：如图所示， 过P1、P2分别作x轴、y轴的垂线相交于A点． 则A点的坐标为A（﹣2，﹣5） ∴P1A=|﹣5﹣3|=8，P2A=|﹣2﹣4|=6， ∴P1P2===10． 点评：本题的点的距离的问题欲求P1与P2之间的距离，就是要求线段P1P2的长，过P1作x轴的垂线，过P2作y轴的垂线，设两条线段交于A点，则△P1AP2是直角三角形．根据勾股定理，得P1P2=． 2、当m为何值时，点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x轴距离的3倍？求出此时点P到原点的距离． 考点：两点间的距离公式。 分析：点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x轴距离的3倍，即横坐标的绝对值是纵坐标的绝对值的3倍，就得到一个关于m的方程．化简就可以求出m的值． 解答：解：根据题意得到|3m﹣1|=3|m﹣2|，两边平方，解得m= 因而P的坐标是（﹣，﹣），则OP=． 点评：已知点P（3m﹣1，m﹣2）到y轴的距离是到x轴距离的3倍就可以得到关于m的方程，转化为方程问题就是解决本题的关键． 3、在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=2，BC=1，点A，C分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点C随着在正y轴上运动． （1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？ 考点：两点间的距离公式；坐标与图形性质。 专题：计算题。 分析：（1）根据勾股定理即可求解； （2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D，再根据两点间的距离公式即可求解； （3）取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以．证明当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时即可求解； 解答：解：（1）当A点在坐标原点时，如图， AC在y轴上，BC⊥y轴， 所以． 目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的基本应用与计算． （2）当OA=OC时，如图，△OAC是等腰直角三角形，AC=2． 所以∠1=∠2=45°，． 过点B作BE⊥OA于E，过点C作CD⊥OC，且CD与BE交于点D， 则∠3=90°﹣∠ACD=90°﹣（90°﹣45°）=45°．又BC=1， 所以，， 因此． （3）解法一：如图所示，设∠ACO=θ，过C作CD⊥OC， 由于∠BCA=90°，所以∠BCD=θ．由AC=2，BC=1，可以得B点的坐标 为B（cosθ，sinθ+2cosθ）．则l2=OB2=cos2θ+（sinθ+2cosθ）2=cos2θ+sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=1+2sin2θ+4cos2θ=3+2sin2θ+2（2cos2θ﹣1）=3+2sin2θ+2cos2θ== 当时，，所以． 解法二：如图，取AC的中点E，连接OE，BE．在Rt△AOC中，OE是斜边AC上的中线，所以． 在△ACB中，BC=1，， 所以． 若点O，E，B不在一条直线上，则， 若点O，E，B在一条直线上， 则， 所以当点O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值， 最大值是． 当O，E，B在一条直线上时，OB取到最大值时， 从下图可见，OE=1，．∠CEB=45°，但CE=OE=1， ． 点评：本题考查了两点间的距离公式及坐标与图形的性质，难度较大，主要是巧妙地利用了线段的基本性质：两点间线段最短．一般地说，线段基本性质常用来求最小值．即线段AB长为定值时，AC+BC的最小值为AB，此时C在AB上．这是线段基本性质的一种应用；而另一种应用往往为人们所忽视：如果两条线段AC和CB在C点接在一起，AC=m与CB=n都是定长；那么AC+BC的最大值为m+n，此时C、A、B三点共线． 4、在平面直角坐标系中，O为原点． （1）点A的坐标为（3，﹣4），求线段OA的长； （2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长． 考点：两点间的距离公式。 专题：代数几何综合题。 分析：（1）利用两点间的距离公式（d=）求解； （2）在直角三角形中，根据勾股定理解答． 解答：解：（1）…（3分） （2）如图，CM=|6﹣2|=4， BM=|5﹣2|=3，则由勾股定理，得 ．…（6分） 点评：本题考查了两点间的距离公式．解答此类题目，需熟记两点间的距离公式d=． 5、在直角坐标平面内，已知点C