神奇的三角---杨辉三.ppt

杨辉简介 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家 ·贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 ·杨辉 中国南宋1261《详解九章算法》记载之功 ·朱世杰中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 ·阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 ·阿皮亚纳斯德国 1527 ·米歇尔`斯蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 ·薛贝尔 法国 1545 ·B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 从上倒下，都是上面两个数加起来的和就是对应下面一个数，列如：1+1=2，1+2=3，1+3=4.  杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 前提：端点的数为1. 1、每个数等于它上方两数之和。 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3、第n行的数字有n项。 4、第n行数字和为2^(n-1)。（2的(n-1)次方） 5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)，这是组合数性质。 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数， 即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2 第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数 即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 以此类推。 又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数 将各行数字相排列，可得11的N次方：1=11ordm; 11=11sup1; 121=11sup3; 注11的5次方 ，应为： * * * * * * * * * * * * 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle） 杨辉三角的历史 0行 11行 1 12行 1 2 1 3行 1 3 3 14行 1 4 6 4 1 …… 性质 杨辉三角与二项式定理 杨辉三角与斐波那契数列 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数 用杨辉三角求高次方