离散型随机变量的均值、方差习题课.ppt

例4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响． (1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差； (2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求该同学得 分η的期望与方差． 从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强． (2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为： * 离散型随机变量的期望与方差习题课 (1)均值:称E(X)=_____________________ 为随机变量X的均值或_________. 它反映了离散型随机变量取值的__________. x1p1+x2p2+…+xi pi+…+xn pn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 离散型随机变量的均值与方差 其中____________为随机变量X的标准差. (2)方差:D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________ pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X 均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=________.D(aX+b)=_______(a,b为常数) (2)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______. (3)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________. aE(X)+b a2D(X) p(1-p) np(1-p) np 题型一、 均值与方差性质的应用 解 ∵利用性质E(aξ+b)=aE(ξ)+b, D(aξ+b)=a2D(ξ). 例2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望和方差; (3) 求“所选3人中女生人数X≤1”的概率. 题型二、 求离散型随机变量的期望、方差 练1.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若ξ表示取到次品的个数,则E(ξ)=____. 解析：ξ的取值为0,1,2,3,则 练2.(2009·上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人 作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ 表示选出的志愿者中 女生的人数,则数学期望E(ξ)=______(结果用最简分数表示). 解析：的可能取值为0,1,2, 练习3.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已 摸球的次数, (1)随机变量ξ的概率分布列； (2)随机变量ξ的数学期望与方差. 解(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4, 所以随机变量ξ的概率分布列为： 4 P 3 2 ξ (2)随机变量ξ的数学期望 随机变量ξ的方差 例3. (09湖南17)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点 工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类, 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 有3名工 人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望. 二项分布 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业 建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互 独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1, 2,3且i ,j、k 互不相同)相互独立,且 (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知, 练习.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测 试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学 习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当, 每次测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望. 解:(1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事件为 (2)参加测试次数X的可能