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空间夹角和距离的计算
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 【变式训练】 3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1, (1)证明:AB=AC; (2)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小. 利用空间向量解决探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只须通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,可以使问题的解决更简单、有效、应善于运用这一方法. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,D为AC的中点. (1)求证:AB1∥面BDC1; (2)若AA1=3,求二面角C1-BD-C的余弦值; (3)若在线段AB1上存在点P,使得CP⊥面BDC1,试求AA1的长及点P的位置. 解析: (1)证明:如图,连结B1C,交BC1于点O,连结OD, 则O为B1C的中点, ∵D为AC中点,∴OD∥AB1, 又AB1?平面BDC1,OD平面BDC1, ∴AB1∥平面BDC1. (2)∵AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1, ∴CC1⊥平面ABC,则BC⊥平面AA1C1C,CC1⊥AC. 如图,建立空间直角坐标系, 则C1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0), 1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系; (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算. (1)求两异面直线a、b的夹角θ,须求出它们的方向向量a,b的夹角,则cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线l与平面α所成的角θ 可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角.则sin θ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角α-l-β的大小θ,可先求出两个平面的法向量n1,n2所成的角,则θ=〈n1,n2〉或π-〈n1,n2〉. 从近两年的高考试题来看,利用空间向量证明平行与垂直,以及求空间角是高考的热点,题型主要为解答题,难度属于中等偏高,主要考查向量的坐标运算,以及向量的平行与垂直的充要条件,如何用向量法解决空间角等,同时注重考查学生空间想象能力、运算能力. 【阅后报告】 本题考查了面面垂直及直线PB和平面PCD所成的角,求空间角的主要方法是利用空间坐标系,求解时应注意向量的夹角并不一定是所求空间角,应结合图形的特点来确定. 解析: (1)如图所示,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系A-xyz. 2.(2010·全国卷Ⅰ)如图,四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC. (1)证明:SE=2EB; (2)求二面角A-DE-C的大小. 练规范、练技能、练速度 * * NO.1 知能巧整合 夯基砌高楼 NO.2 典例悟内涵 点化新思路 NO.3 真题明考向 备考上高速 课 时 作 业 工具 第七章 立体几何 栏目导引 第7课时 空间夹角和距离的计算 1.利用空间向量证明空间中的位置关系 若直线l,l1,l2的方向向量分别为v,v1,v2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下: 平行 垂直 直线 与直线 l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ为非零实数) l1⊥l2?v1⊥v2 ?v1·v2=0 直线 与平面 (1)l∥α?v⊥n1?v·n1=0 (2)l∥α?v=xa+yb其中a,b为平面α内不共线向量,x,y均为实数 l⊥α?v∥n1?v=λn1(λ为非零实数) 平面 与平面 α∥β?n1∥n2?n1=λn2 (λ为非零实数) α⊥β?n1⊥n2 ?n1·n2=0 2.利用空间向量求空间角 (1)直线间的夹角 ①当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中不超过90°的角叫做 ②当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作AB∥l2,我们把直线l1
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