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第10章 第9课时 随机变量的期望与方差
∴X的分布列为 探究2 求离散型随机变量X的均值与方差的方法: (1)写出X的分布列; (2)由均值的定义求E(X); (3)由方差的定义求D(X). (2014·天津理)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 思考题2 【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解; (2)先确定随机变量X的所有取值,求出对应的概率,列出分布列,再代入随机变量的期望公式求解. 题型三 二项分布的均值与方差 探究3 求随机变量ξ的期望时,可首先分析ξ是否服从二项分布,若ξ~B(n,p),则用公式E(ξ)=np求解,可大大减少计算量. 思考题3 ∴考生甲正确完成题数的分布列为 从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【答案】 (1)E(ξ)甲=2,E(η)乙=2 (2)甲的实验操作能力较强 1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明的描写.期望表示在随机试验中随机变量取得的平均值;方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散程度,即取值的稳定性.把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义,是处理有关应用题的重要环节. 2.期望与方差的常用性质,掌握下述有关性质,会给解题带来方便: (1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b; E(ξ+η)=E(ξ)+E(η); D(aξ+b)=a2D(ξ); (2)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p). 1.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取到次品的个数,则E(X)等于________. 答案 B 3.(2015·衡水调研卷)某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车,分配到附近的A,B,C,D四个村子进行送水抗旱工作,每个村子至少要安排一辆消防车.若这五辆消防车中去A村的辆数为随机变量ξ,则E(ξ)的值为( ) 答案 D 4.马老师从课本上抄录的一个随机变量ξ的概率分布列如下表: 请小牛同学计算ξ的数学期望,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同,据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________. x 1 2 3 P(ξ=x) ? ! ? 答案 2 解析 令“?”为a,“!”为b,则2a+b=1. 又E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 所以ξ的分布列为 第十章 计数原理和概率 第9课时 随机变量的期望与方差 1.了解离散型随机变量的数学期望、方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求它的期望、方差. 2.离散型随机变量的期望与方差在现实生活中有着重要意义,因此求期望、方差是应用题的命题方向. 请注意 期望与方差是随机变量最重要的两个特征数,它们所表示的意义具有很大的实用价值,是高考的热点之一.高考的主要题型有两种:一是求期望值和方差;二是有关的应用题. 1.期望与方差 若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 标准差 σ(ξ) 2.离散型随机变量的期望与方差具有下列性质 (1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)与方差D(ξ)是一个______,它们是随机变量ξ本身所固有的一个数字特征,它们不具有随机性. (2)若离散型随机变量的一切值位于区间[a,b]内,E(ξ)的取值范围是 . (3)离散型随机变量的期望反映随机变量可能取值的_________,而方差反映随机变量取值偏离于均值的平均程度. 数值 a≤E(ξ)≤b 平均水平 (4)若η=aξ+b,其中ξ是离散型随机变量,a,b为常数,则E(η)= ,D(η)= . (5)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一,期望E(ξ)的值既可正也可负,而方差的值则一定是一个非负值. (6)D(ξ)=E(ξ 2)-(E(ξ))2 aE(ξ)+b a2D(ξ) 3.常见离散型随机变量ξ的期望与方差 (1)两点分布:若随机变量ξ满足P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,则E(ξ)= ,D(ξ)= . (2)二项分布:若随机变量ξ~B(n,p),则E(ξ)= ,D(ξ)=
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