第1课时 均值不等式.ppt

3.2 均值不等式 第1课时 均值不等式 服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法! 王大妈:我买这包糖. 称得a(kg) 称得b(kg) 服务员: 把两次称得的质量平均一下肯定是您所买的糖的质量,绝对不会错的! 即: = 糖果真正质量m 嗯,我真聪明,这样的难题都难不倒我! 称得b(kg) 称得a(kg) 王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想! 真后悔高中的时候没读好书啊…… 哦,这也难不倒我老人家,凡事多问是我几十年的经验!现在高中的同学们正在学习不等式比较大小,就麻烦他们吧！同学们,赶快帮我想一想,告诉我结果! 结论：物体的真实质量为： ，而a,b的平均值为 思考：这两者之间的关系如何？本节课我们来学习此内容 1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系. 2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式.（重点） 3.能利用均值不等式证明简单不等式.（难点） 定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”） 证明： 探究点：均值不等式 1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件： 均值定理： 如果a, b∈R+，那么 （当且仅当a = b时，等号成立） 注意： 1.均值不等式 (1)均值不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. a0,b0 a=b 2.算术平均值与几何平均值 设a0,b0，则a,b的算术平均值为_________, 几何平均值为______，均值定理可表述为：_________________________________________ _______. 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何 平均值 这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式. 3.几个重要的不等式 (1) a2+b2≥ _______(a,b∈R). (2) ≥____(a,b同号). (3) (a,b∈R). (4) (a,b∈R). 2ab 2 从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义； 从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系. 把 看做两个正数a，b的等差中项， 看做正数a，b的等比中项， 那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢? 引申： 几何直观解释： 令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法， 作出长度为 和 的两条线段，然后比较这 两条线段的长. 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b； （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C； （4）连接AC，BC，OC,则 当a≠b时，OCCD，即 当a=b时，OC=CD，即 ab a+b 2 b a O D C B A 注：“均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”. 所以 当且仅当a=b 时，不等式中的等号 成立. 例．已知ab0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件. 证明：因为ab0，所以 ， 根据均值不等式得 即 当且仅当 ，即a2=b2时式中等号成立， 因为ab0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b. 变式练习（1）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd. (2)已知a0,b0,a+b=1,求证: 证明:（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd. 当且仅当a=b=c=d时，式中等号成立 原不等式得证. （2）因为a0,b0,a+b=1， 当且仅当 即a2=b2时式中等号成立.因为a＞0, b＞0,所以式中等号成立的条件是 所以原不等式成立. 1.下列结论中不正确的是 （ ） A. B. C.a2+b2≥2ab D. B 2.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是( ) C 3.已知x0,y0,z0. 求证： 证明：因为x0,y0,z0, 当且仅当x=y=z时等号成立. 应用均值不等式需注意以下三点： （1）各项或各因式为正. （2）和或积为定值. （3）各项或各因式能取得相等的值，必要时做适当变形，以满足上述前提，即“一正