第2章 自由振动分析-1-修正2.ppt

对数衰减率 当 较小时 (3-34*) §2.6 阻尼自由振动 当ξ较小时 当ξ非常小时 (2-59) 一个小例题！E2-1 (2-56) (2-57) §2.6 阻尼自由振动 (2-60) 当ξ1时 反应方程 (2-62) (2-61) §2.6 阻尼自由振动 超阻尼体系 低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线 高等结构动力学 第二章 高等结构动力学 自由振动分析 基本动力体系的组成 基本动力体系的运动方程 重力的影响 支座激励的影响 无阻尼自由振动分析 阻尼自由振动 第二章 自由振动分析 1. 基本动力体系的组成 1. 基本动力体系的组成 （a）基本元件 （b）平衡力系 图2-1 理想化单自由度体系 承受外部激励源或荷载的任何线性弹性结构的基本物理特性 体系的质量 弹性特性 能量耗散机理或阻尼 在单自由度（SDOF）体系的最简单模型中，每一个特性都假设集结于单一的物理单元内，则此体系略图如2-1所示： 2. 基本动力体系的运动方程 一、d’Alembert原理——直接平衡法 (2-1) (2-2a) (2-2b) (2-2c) 2. 基本动力体系的运动方程 采用三种方法建立图2-1所示简单体系的运动方程： 力的平衡表达式 惯性力fI(t) 阻尼力fD(t) 弹簧力fS(t) 如果给质量以一个约束所允许的微小位移δv，则平衡力系所作的总虚功必须等于零 (2-4) (2-5) 因δv不为零，则得： 单自由度体系的运动方程 (2-3) 二、虚功原理 2. 基本动力体系的运动方程 变分的概念： 泛函的概念 泛函的极值问题 典型的变分问题 请大家看一本简明变分原理教程 《弹性力学中的变分原理》张振清 三、 Hamilton原理 2. 基本动力体系的运动方程 (2-6a) (2-6b) (2-6c) 体系动能 由弹簧表达的位能 非保守力所作功的变分 (2-7) 整理 (2-8) 2. 基本动力体系的运动方程 (2-9) 由 得到 由变分的δv任意性可得： 2. 基本动力体系的运动方程 3. 重力的影响 3. 重力的影响——静力的影响 重力对单自由度体系平衡的影响 (2-6) (2-7) (2-8) (2-9) 弹簧力 代入后得 由静力平衡可知 (2-10) 力的平衡表达式 代入式(2-9)得 3. 重力的影响 3. 重力的影响 由于△st是不随时间变化的： 因此，方程（2-10）可以改写成： (2-11) 当需要考虑重力影响时，结构的总位移为动力结果与静力结果之和； 即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相加即得到结构的总体反应。 只有对线弹性结构才可以使用叠加原理，将静力、动力问题分开考虑。 支座激励对单自由度体系平衡的影响 （a）体系的运动; (b)平衡力系 4. 支座激励的影响 4. 支座激励的影响 体系平衡 (2-12) (2-13) (2-14) 惯性力 得 (2-15) (2-16) (2-17) 质量总位移 得 4. 支座激励的影响 代入 支座激励的第二种列式 得 地震测量为加速度，速度和位移需要积分一次和两次才可获得，少用！ 将质量总位移 (2-18) 4. 支座激励的影响 5. 无阻尼自由振动分析 5. 无阻尼自由振动分析 结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 自由振动 运动方程：单自由度运动方程的普遍形式 1)运动方程的解 2)无阻尼自由振动 运动方程的解 自由振动的运动方程 （2-19） 解的性质 数学上：给定边界条件下二次微分方程的解； 力学上：荷载与初始条件下结构的反应。 扰动的表现： 5. 无阻尼自由振动分析 微分方程的解法 复数解法 三角函数解法 自由振动 (2-21) 解的形式 (2-20) 式中G是任意的复常数，esp(st)=est表示指数函数。在后面的讨论中将动力荷载和反应用复数表达往往是方便的，因此现在简要地回顾复数的概念。 5. 无阻尼自由振动分析 图 2-4 复平面中的复常数表示法 或 首先讨论复常数G，它可以如图2-4所示用复平面的一个矢量来表示。此图表明矢量可用实、虚部Cartesian分量来表示。 （2-22a） 5. 无阻尼自由振动分析 5. 无阻尼自由振动分析 此外，联立求解式（2-23a）,可得Euler方程的逆形式： 整理得 (2-23a) 现在令式（2-22c）和式（2-22b）相等，同样注意到负的虚部分量对应于负的矢量角，这可得到用于三角函数与指数函数变换的Euler对： (2-23b) 5. 无阻尼自由振动分析 (2-25) S的值依赖于阻尼c的值！ 上式除以mGexp(st)并引入如下