第2章函数、导数、及其应用 第12节.ppt

网控基础点　提炼命题源 1．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1．函数f(x)＝x3－3x(－1x1)(　　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是________． 研细核心点　练透经典题 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解． (2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解． 利用导数研究不等式的方法 使用导数方法证明不等式或者研究在一定条件下的不等式问题，基本方法是通过研究函数性质进行，这里首先要实现问题的转化，即把不等式问题转化为函数的性质问题，再使用导数方法研究函数的性质，如函数的单调性、函数的最值、函数的值域等． (2014·福建，文22)已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x0时，x2ex； (3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有xcex. 解：解法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x) ＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 当xln 2时，f′(x)0，f(x)单调递减； 当xln 2时，f′(x)0，f(x)单调递增． 所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值， 且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值． [调研3]　(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． ①将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； ②讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． [分析]　①关键是正确表示出圆柱的高． ②利用导数研究V(r)的单调性． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题作答． 特别提醒：一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 利用导数破解函数的综合问题 [典例]　(2014·江苏)已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数． (1)证明：f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)＜a(－x＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论． (3)由条件构造函数g(x)＝f(x)－a(－x3＋3x)，利用导数求出g(x)的最小值，利用g(x)min0，求出a的取值范围． 判断ea－1与ae－1的大小，即判断ln ea－1与ln ae－1的大小，即判断(a－1)－(e－1)ln a的符号． 构造函数h(x)＝x－1－(e－1)ln x，利用导数求出h(x)在(0，＋∞)上的单调区间和最小值． 利用h(1)＝h(e)＝0，对a的值分三种情况讨论h(x)的符号，从而确定ea－1与ae－1的大小． [失分警示]　失分点1　题中①处未能将参数m导出而感觉无从下手造成失分． 失分点2　题中②处未注明等号成立的条件而造成无谓失分． 失分点3　题中③处未能合理构造函数g(x)而不能求解造成失分． 失分点4　题中④处对a的分类讨论不完整或思路不清晰而失分． [答题指导]　在利用导数研究函数综合问题时