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第3章-湘江流量估计模型
这表明在收敛速度缓慢的梯形序列 基础上,若将 与 按(3.3.2)作线性组合,就可产生收敛速度较快的辛普生序列 : 同理,从近似等式(3.2.21)出发,通过类似的分析,可以得到: 故在辛普生序列 的基础上,将 与 按(3.3.3)作线性组合,就可产生收敛速度更快的柯特斯序列 : 这种加速过程还可以继续下去。 (3.3.3) 例3.3.2 通过 与 的线性组合,可以在柯特斯序列 的基础上,产生一个称为龙贝格序列的新序列 ,即: 经过进一步的分析,可以证明,当 满足一定条件时,龙贝格序列 比柯特斯序列 更快地收敛到积分 的真值 。 综上可知,可以在积分区间逐次分半的过程中利用公式(3.3.2)、(3.3.3)和(3.3.4)…,将粗糙的近似值 逐步“加工”成越来越精确的近似值 。也就是说,将收敛速度缓慢的梯形序列 逐步地“加工”成收敛速度越来越快的新序列: 。这种加速的方法就称为龙贝格算法。其加工过程如图3.3.1,其中圆圈中的号码表示计算顺序。 (3.3.4) 图3.3.1 3.3.2 Romberg(龙贝格)算法计算公式的简化 为了便于上机计算,引用记号 来表示各近似值,其中k仍代表积分区间的二分次数,而下标m则指出了近似值所在序列的性质: 当m=0时,在梯形序列中;当m=1时,在辛普生序列中;当m=2时在柯特斯序列中 ……. 例3.3.4 表3.3.1中的各近似值,若用 记号表示,则如表3.3.2所示。 引入上面的记号后,龙贝格算法所用到的各个计算公式可以统一为: (3.3.5) 相应的程序框图见图3.3.2。其中 为最大二分次数。最后指出下列几点: (1)当 较大时,由(3.3.5)第三式知 。因此,在实际计算中,常规定 ,即在计算到出现龙贝格序列为止。在这种情况下,程序框图3.3.2应做相应的修改,需将“按式(3.3.5)计算” 改为“按式(3.3.5)计算” ,并将精度控法 改为 (2)为防止假收敛,可设置最小二分次数 。当 时,跳过精度判别而继续运算; (3) 可以用二维数组来存放与参加运算,也可用一维数组。 图3.3.2 3.4 Gauss(高斯)型求积公式与测量位置的优化选取 下面介绍一种高精度的求积公式—高斯(Gauss)型求积公式。 3.4.1 Gauss(高斯)型求积公式的定义 在3.2中,限定把积分区间的等分点作为求积节点,从而构造出一类特殊的插值型求积公式,即牛顿-柯特斯公式。这种做法虽然简化了计算,但却降低了所得公式的代数精度。 例3.4.1 在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点 , ,那么所得插值型求值公式: 的代数精度仅为1。 (3.4.1) (3.4.2) 但是,如果我们对(3.4.1)中的系数 和节点 都不加限制, 那么就可以适当选取 和 ,使所得公式的代数精度m1。 事实上,若要求求积公式(3.4.1)对函数 都准确成立,只要 和 满足方程组 (3.4.3) 解之得 代入(3.4.1)即得: 容易验证,所得公式(3.4.4)是 代数精度为3的插值型求积公式。 同理,对于一般求积公式: (3.4.4) (3.4.5) 只要适当选择2n+2个待定参数 和 使它的代数精度达到2n+1也是完全可能的。 定义3.4.1 若形如(3.4.5)的求积公式代数精度达到了 2n
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