第3章-湘江流量估计模型.ppt

这表明在收敛速度缓慢的梯形序列 基础上，若将 与 按（3.3.2）作线性组合，就可产生收敛速度较快的辛普生序列 ： 同理，从近似等式（3.2.21）出发，通过类似的分析，可以得到： 故在辛普生序列 的基础上，将 与 按（3.3.3）作线性组合，就可产生收敛速度更快的柯特斯序列 ： 这种加速过程还可以继续下去。 （3.3.3） 例3.3.2 通过 与 的线性组合，可以在柯特斯序列 的基础上，产生一个称为龙贝格序列的新序列 ，即： 经过进一步的分析，可以证明，当 满足一定条件时，龙贝格序列 比柯特斯序列 更快地收敛到积分 的真值 。 综上可知，可以在积分区间逐次分半的过程中利用公式（3.3.2）、（3.3.3）和（3.3.4）…，将粗糙的近似值 逐步“加工”成越来越精确的近似值 。也就是说，将收敛速度缓慢的梯形序列 逐步地“加工”成收敛速度越来越快的新序列： 。这种加速的方法就称为龙贝格算法。其加工过程如图3.3.1，其中圆圈中的号码表示计算顺序。 （3.3.4） 图3.3.1 3.3.2 Romberg（龙贝格）算法计算公式的简化 为了便于上机计算，引用记号 来表示各近似值，其中k仍代表积分区间的二分次数，而下标m则指出了近似值所在序列的性质： 当m=0时，在梯形序列中；当m=1时，在辛普生序列中；当m=2时在柯特斯序列中 ……. 例3.3.4 表3.3.1中的各近似值，若用 记号表示，则如表3.3.2所示。 引入上面的记号后，龙贝格算法所用到的各个计算公式可以统一为： （3.3.5） 相应的程序框图见图3.3.2。其中 为最大二分次数。最后指出下列几点： （1）当 较大时，由（3.3.5）第三式知 。因此，在实际计算中，常规定 ，即在计算到出现龙贝格序列为止。在这种情况下，程序框图3.3.2应做相应的修改，需将“按式（3.3.5）计算” 改为“按式（3.3.5）计算” ，并将精度控法 改为 （2）为防止假收敛，可设置最小二分次数 。当 时，跳过精度判别而继续运算； （3） 可以用二维数组来存放与参加运算，也可用一维数组。 图3.3.2 3.4 Gauss(高斯)型求积公式与测量位置的优化选取 下面介绍一种高精度的求积公式—高斯（Gauss）型求积公式。 3.4.1 Gauss（高斯）型求积公式的定义 在3.2中，限定把积分区间的等分点作为求积节点，从而构造出一类特殊的插值型求积公式，即牛顿-柯特斯公式。这种做法虽然简化了计算，但却降低了所得公式的代数精度。 例3.4.1 在构造形如 的两点公式时，如果限定求积节点 ， ，那么所得插值型求值公式： 的代数精度仅为1。 (3.4.1) (3.4.2) 但是，如果我们对（3.4.1）中的系数 和节点 都不加限制， 那么就可以适当选取 和 ，使所得公式的代数精度m1。 事实上，若要求求积公式（3.4.1）对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组 （3.4.3） 解之得 代入（3.4.1）即得： 容易验证，所得公式（3.4.4）是 代数精度为3的插值型求积公式。 同理，对于一般求积公式： （3.4.4） （3.4.5） 只要适当选择2n+2个待定参数 和 使它的代数精度达到2n+1也是完全可能的。 定义3.4.1 若形如（3.4.5）的求积公式代数精度达到了 2n