第7章 数学基础：多项式矩阵理论.ppt

第七章 数学基础：多项式矩阵理论 一些基本概念（7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6) 多项式： 多项式矩阵： 元为多项式的矩阵 注1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不封闭； 注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域， 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。 奇异和非奇异：对方多项式而言，Q(s) 线性相关和线性无关： 对象是有理分式域中的一组多项式向量 注意： 秩：与通常矩阵秩的定义相同 单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵 方阵，非奇异 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。 性质： （1）Q(s)为单模阵?Q(s)的逆也是多项式矩阵； （2） Q(s)为单模阵?Q(s)非奇异； （3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； （4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 初等变换： （1）行（列）交换； （2）用一非零实或复数乘以某行或列； （3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上 注： （1）初等行（列）变换?初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵； （2）初等矩阵都是单模矩阵； （3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩阵； （4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。 7.7埃尔米特形 多项式矩阵的规范形之一。 Hermite形的特征，见书； 化为Hermite的算法： 只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即 性质： 对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形 7.8公因子和最大公因子 一. 公因子的定义 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子. 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子. 二. gcd(最大公因子)的定义 gcrd: (1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (2)R (s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s) 则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd. gcld: (1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子; (2)Q (s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s) 则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld. 三.如何求gcd 以gcrd为例. Why: 三. Gcd 的性质 以gcrd为例 (1)gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why: (2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异?R2(s)非奇异 R1(s)单模?R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数. 7.9 互质性 一. 右互质和左互质 D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd. 若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质. A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld. 若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质. 二.右互质判据 判据1:贝佐特等式判据 D(s),N(s)右互质?存在X(s),Y(s)多项式矩阵 使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I 证明: 必要性:已知D(s),N(s)右互质，证等式成立 充分性：等式成立，证D(s),N(s)右互质 令R(s)为D(s),N(s)的一个gcrd.只要证R(s)单模。 判据2：秩判据 判据3：非右互质判据 三. Gcrd构造关系式的一个性质 7.10 列次数和行次数 一. 次数 多项式的次数： 多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。