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* * 第八章 交通流排队模型 (Traffic Flow Queuing Model) 第一节 概述 第二节 排队理论的基本原理 重点 第三节 M/M/S模型的解 重点、难点 第四节 实际应用计算 第一节 概述 交通设计的目标：减少行驶延迟至最小。 匝道入出口等候排队； 行人过路等待； 交叉口延迟，左转弯车辆的等待； 收费站前的等待。 … … 图1 排队系统的基本结构 (到达) (等待) (服务) (离去) 顾客 通道（窗口） 20世纪初获得应用。 W.F.Adams:无信号交叉口的行人延误(1936)； L.C.Edie:收费站排队问题(1954)。 系统中的顾客？列队等候的顾客有多少？顾客接受服务的时间？顾客需要等待多久？设施不起作用的时间？ 第二节 排队理论的基本模型 到达特性: (1)平均到达率及(2)到达间隔和统计分布； 服务设施特性: (1)服务时间的平均比率及其分布，和(2)可同时得到服务的顾客数或通道数； 排队纪律特性: 服务对象方式（先来先服务，最有利的先服务）。 表示形式：a / b /c 到达类型 服务类型 服务通道数 a, b,c处的符号： M:随机到达和服务时间(服从指数分布,Markov)； D:固定到达和服务时间(Deterministic)； G:服务次数的一般分布(General)； GI:到达时距次数的一般分布； Ek:爱尔朗分布，参数k(Erlang)； S:通道数(Server)。 M/G/S: 指数分布到达，一般分布服务，S个服务通道。 限制排队长度和排队规则情况： 增加 L/Disc 许可排队的最大长度 排队纪律 FIFO:先进先出（按到达顺序服务）； SIRO:按随机顺序服务； LIFO:先进后出。 例如，Ek/D/2(∝/FIFO) 爱尔朗到达，固定服务，两通道服务，排队长度不限及先到达先服务。 一、M/M/S系统理论建模（高速公路收费站） 系统处于n状态:正在服务或等待服务的项目有n个。 系统参数： 平均到达率 平均到达间隔 系统的服务率 平均服务时间 交通强度或利用率 ：系统稳定 ：系统不稳定 指数分布 常数分布（=1） 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 8 12 16 20 交通强度 系统中的服务平均度 图8.1 系统中的服务平均数作为交通强度的函数关系图 次数 时间 波松到达分布 次数 时间 指数服务分布 二、状态方程式 假设：△t为微小时间 △t时间内1辆车(x=1)到达的概率 忽略△t的高次项 另外，服务时间△t时间内结束的概率 麦克劳林公式 (8.1) 因为， 所以， (8.2) 继续假设 为包含正在接受服务车辆在内，t时刻收费站中有n辆车的概率。 在△t时间内，收费站的车辆数的变化 概率 否 是 概率 无 有 到达 服务结束 在(t+△t)时刻： n=0的场合： 在时刻t，0辆车(P0(t))到达，并且在△t时间内，没有车辆到达； 在时刻t，1辆车(P1(t))到达，而在△t时间内，没有车辆到达，并且在服务结束后，没有车辆到达(P0(t +△t))。 (8.3) nS的场合： 在时刻t，n辆车(Pn(t))到达，并且在△t时间内，既没有车辆到达又没有服务结束； 在时刻t，n+1辆车(P n +1(t))到达，而在△t时间内没有车辆到达并且服务结束; 在时刻t，n-1辆车到达Pn-1(t)，而在△ t内有车辆到达并且服务没有结束(Pn(t +△t))。 (8.4) n≥S的场合： 与ii.相同，不同之处如下： 继续服务的概率 服务结束的概率 (8.5) 表2 △t时间内的系统状态 没有到达 ： 有服务结束 ： n+1 nS 没有到达 ： 没有服务结束： n 没有到达 ： 没有服务结束： n-1 没有到达 ： 有服务结束 ： 1 0 没有到达 ： —— —— 0 t+ △t的状态 △t时间内的事件、概率 t的状态 没有到达 ： 有服务结束 ： n+1 n≥S 没有到达 ： 没有服务结束： n 没有到达 ： 没有服务结束： n-1 t+ △t的状态 △t时间内的事件、概率 t的状态 整理式(8.3)-(8.5)，两边除以△t，并另△t→0,有 (8.6) M/M/S排队系统基本状态模型 第三节 M/M/S模型的解 1. S=1(1个通道)的场合 对于安定状态 (8.7) (8.8) 收费站中的车辆数 排队长度 平均停留时间 平均等待时间 一、收费站中的车辆数和排队长度 由式(8.7)得 令式(8.8)中n=1得 依次